切线旋转指标定理的初等证法

在平面曲线的整体微分几何中,简单闭曲线切线旋转指标定理的证明十分复杂。常见的Hopf证法,须将切向量转角θ(s)改造成平面星状区域上的二元函数。有些教科书~〔2〕写得很浓缩,看起来不长,实际并不简单。复旦大学的课本~〔1〕写得较详,即使这样,还是不能讲清细节,对于如何推广到曲面上去也未交代清楚。近年来我们曾使用过复旦的课本,感到此法不便于教学,因此另找一初等证法。我们认为,指标定理本质上是初等几何中简单多角形外角和定理的极限情形。按这一思路去寻找证明方法,要比Hopf证法更符合认识规律。对于构作切向量连续转角的定理,我们用积分来定义这个转角,使证明也得以简化。