介绍Kaplansky定理的两个证明

kaplansky曾经提出并证明了如下的定理(转引自〔1〕): 定理如果带恒等元素环的一个元素拥有不只一个右逆元素,则它有无限个右逆元素。这里将给出该定理的两种完全不同的证明。证明1:设e是环R的恒等元素。α∈R有不只一个右逆元素。设A为α的所有右逆元素组成的集合,即(?)于是A至少有两个不同的元素。显然α没有左逆元素。这是因为,假如α″∈ R是α的一个左逆元素,从而α″α=e,这时我们可取α的两个不相等的右逆元素α_1′和α_2′,从而有(?)矛盾。