规尺作图问题的余波

一把生了锈的圆规,张不大,合不拢,只能画半径固定的圆,用它能干些什么呢?能画出半径很小的圆弧吗?已知A、B两点,能找出C点使△ABC是正三角形吗?能找到线段AB的中点吗?在这些问题中,有些不过是智力测验式的游戏,有些则使用一点初等几何的技巧便可解决,但有些问题的解决却至今尚未见端倪,其难度是出人意料的。比如说,若AB=2/(7~(1/2)),用一把只能画单位圆的圆规可以找出AB的中点,但如果AB的长度是超越数,例如AB=π/2,也许就不可能用只能画单位圆的圆规找到AB的中点。但到目前这仍是一个尚未证明的猜测。