使得幂GCD矩阵$(S^e)$ 整除幂LCM矩阵$[S^e]$的四元gcd封闭集$S$的

洪绍方在 2002 年证明了如下结果： 若 $S$ 为 gcd 封闭集且 $|S| \leq 3$, 则在 $|S|$ 阶整数矩阵环 $M_{|S|}(\mathbf{Z})$ 中，GCD 矩阵 $(S)$ 整除 LCM 矩阵 $S]$. 设 $e\geq 1$ 为给定的整数. 在本文中，我们给出了关于四元 gcd 封闭集 $S$ 的充分必 要条件，使得在环 $M_4(\mathbf{Z})$ 中， 定义在 $S$ 上的 $e$ 次幂 GCD 矩阵 $(S^e)$ 整除 $e$ 次幂 LCM 矩阵 $S^e]$. 这部分解决了洪绍方在 2002 年提出的一个公开问题.

A CHARACTERIZATION FOR THE GCD-CLOSED SET S WITH |S| = 4 SUCH THAT (S^e) DIVIDES [S^ee]

In 2002, Hong showed that for any gcd-closed set $S$ with $|S|\le 3$, the GCD matrix $(S)$ on $S$ divides the LCM matrix $S]$ on $S$ in the ring $M_{|S|}(\mathbf{Z})$ of $|S|\times |S|$ matrices over the integers. Let $e\geq 1$ be an arbitrary given integer. In this paper, we give necessary and sufficient conditions on the gcd-closed set $S$ with $|S|=4$ such that the power GCD matrix $(S^e)$ on $S$ divides the power LCM matrix $S^e]$ on $S$ in the ring $M_4(\mathbf{Z})$. This solves partially an open question raised by Hong in 2002.