鲁金定理的证明及推广

引理1设F1，F2，…，Fn。是n个互不相交的闭集，在上定义函数f（x），其中Ck为常数，则f（x）在F上连续。证若F’=φ，则F的每个点都是孤立点，由连续定义知，f（x）在F上连续。现设任取，任取点列，使且。由F是剧集知，不妨认为，则且于是，中至多只有有限多个点属于并集。设其最大下标为，则当i＞N时，一切，从向有，于是有从而了（X）在x0处连续。由x0的任意性知，f（X）在F上连续。证毕。鲁全定理设f（X）是集E上的几乎处处有限的可测函数，且mE＜＋，则对于任给的e＞0，必有闻集，使得＜e，且f（X）在F上连续。证不妨设f（X）…