关于一个一致收敛函数项级数的注记

1]中有如下习题：证明若函数级数在开区间（a，b）一致收敛于和函数S（X），且，函数un（x）在闭区间a,b]连续，则和函数S（x）在闭区间连续．2]中提供了此问题的解答．在其证明中利用了先决条件“S（x）在a，b处存在”．但是实际上我们可以不附加此先决条件，即在较弱的条件下证明此命题．证首先我们证明：在已知条件下s（a）与s（b）存在．如果发散，可能有两种情况：其前n项和有界或无界．但不论哪种情况，总有k＞Q使得因为在（a，b）上一致收敛，所以对于k/2＞0，有N1＞0，使得任意n1，n2＞N1，有，对成立．对于N1．取n1’．n2’…