关于分段函数的初等性

在普通教科书中,初等函数的定义强调了“能用一个解析式表示”这一条件,那么分段表示的函数是否为初等函数?本文的目的就是要讨论这一问题.引理1　函数ｇ1(ｘ)=1,ｘ<ａ,0,ｘ>ａ;　ｇ2(ｘ)=0,ｘ<ａ,1,ｘ>ａ;　ｇ3(ｘ)=1,ａ<ｘ<ｂ,0,ｘ<ａ或ｘ>ｂ　都是初等函数.引理2　函数Φ1(ｘ)=ｘ,ｘ<ａ,Ａ1,ｘ>ａ;　Φ2(ｘ)=Ａ2,ｘ<ａ,ｘ,ｘ>ａ;　Φ3(ｘ)=ｘ,ａ<ｘ<ｂ,Ａ3,ｘ<ａ或ｘ>ｂ　都是初等函数.引理3　若Ｆ1(ｘ),Ｆ2(ｘ),Ｆ3(ｘ),分别是(-∞,ａ),(ａ,∞)和(ａ,ｂ)上的初等函数,Ａ1<ａ,Ａ2>ａ,ａ<Ａ3<ｂ均为常数,则Ｆ1(ｘ)=Ｆ1(ｘ),ｘ<ａ,Ｆ1(Ａ1)…