关于∧(μ)空间上的抽象函数

吴从炘曾经研究了在叙列空间上取值的囿变函数,并取得了许多结果。实际上,一些结果对在叙列空间上取值的绝对连续函也成立。本文主要讨论在Λ(μ)空间上取值的囿变函数,采用的方法相似于1]中的方法,得到一些相应的结果。同时引入Λ(μ)空间上取值的绝对连续函数,得到一些有关绝对连续函数的结果。此外,李文琦、马绍芹的结果在这里也容易推出。设(X,ψ,μ)是完全测度空间,E∈ψ且μ(E)< ∞,在E上μ一可积的函数所构成的空间记为Λ(μ),一切满足的可测函数U=u(s)的全体叫做空间Λ(μ)的对偶,记作Λ~*(μ)。Λ(μ)与Λ~*(μ)分别简记作Λ、Λ~*。如果Λ=Λ~(**),则称空间Λ是完全的。设X(t)=x(s,t)是从0,1]到空间Λ的抽象函数,如果对于每个U∈Λ~*,是有界的,则称集合M是有界集。如果对于每个有界集N(?)A~*,是有界的,则称集合是全有界的。设{X_n}是空间Λ上抽象函数的叙列,如果对于一切U∈Λ~*,{UX_n}收敛,则称{X_n}是弱收敛的;如果{UX_n}在对偶空间A~*中每个有界集上一致收敛,则称{X_n}是强收敛的。