The inference of hierarchical schemes for multinomial data

Data in an experimental array where a nominal dependent variable hasm>2 outcomes may be accounted for by one of a number of possible schemes consisting ofJ successive and/or parallel independentm _i-nomial experiments where m _i =m +J – 1. Each such scheme can be represented by a tree diagram which is presumed to be valid everywhere in the array. A criterion based on likelihood is defined to assess the different schemes. The set of outcome probabilities of a scheme is shown to differ from that of all other schemes almost everywhere in the space of parameters. As sample size increases, the probability of correctly inferring the true tree tends to 1. Using Monte-Carlo simulation of the four-outcome case, we illustrate, for small sample sizes, how this probability depends on the parameters.

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Résumé Une famille de modèles est proposée pour analyser un ensemble de données dont les observations sont faites sur une variable réponse discrète et sur un vecteur explicatif. Chaque modèle est constitué d'une série d'expériences multinomiales dont les résultats sont des regroupements de modalités de la variable réponse. Les probabilités d'observer ces regroupements dépendent du vecteur explicatif selon des équations logistique-lin éaires. On prouve facilement que chaque modèle de cette famille contient le même nombre de paramètres. De plus chaque modèle correspond à une structure d'arbres qui classifie hiérarchiquement les modalités de la variable réponse: un noeud non terminal de l'arbre représente une de ces expériences multinomiales et un noeud terminal représente une modalité.

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Ainsi la probabilité d'observer une de ces modalités est calculée en parcourant le chemin reliant la racine au noeud terminal représentant cette modalité et le choix du modèle est basé sur un critère de vraisemblance calculée comme le produit des vraisemblances évaluées à partir de l'ensemble de données pour chaque noeud non terminal de l'arbre. On démontre que la capacité de prédiction des modalités diffère pour chaque arbre et seul le vrai arbre peut exhiber les vraies probabilités sur presque tout l'espace paramétrique. On y démontre aussi des propriétés asymptotiques du critère qui assurent que le vrai modèle est choisi par ce critère avec probabilité 1. Une étude par simulation Monte-Carlo illustre, dans le cas de petits échantillons, la dépendance de la probabilité que le vrai modèle soit choisi sur les valeurs des paramètres.