一组重要不等式的微分证明

一组重要的平均值不等式：构造辅助函数f（x）=2x2－2（a＋b）x＋2（a2＋b2－ab）可证明不等式，受此启发，本文采用构造辅助函数，以微分为工具，来证明这组重要不等式。这里用高等数学方法证明初等数学问题，可能对师范院校学生和中学数学教师均有所启示。先证明不等式为函数的极小值点。下面用数学归纳法证明函数f（x）≥0（X＞0）n。l时，f（）一x’一Zalx＋ZaZ－aZ一（x－al）’＞0假设n一及时，f（）＞0，即有：将x—a。。；代入上式得由（2）式知当n—k＋1时，函数的最小值为非负数，故n—k＋l时，f（）＞0所以．对一切自然数n均有…