无平方因子数的分布

用Q(X)表不超过X的无平方因子数的个数。这里,用Δ(X)表余项,则有Q(X)=6/(π~2).X+Δ(X)。H.L.Montgomery和R.C.Vaughan证明了:假定黎曼假设成立,则有Δ(X)=O(X~(9/(28)+(?)))(见Recent Progress in Analytic Number Theory Vol.1,p.247—256)。S.W.Graham改进了这个结果,得到:假定黎曼假设成立,则Δ(X)=O(X~((?)+s))(见J.London Math.Soc.V.24 part 1 p.54—64)。 无平方因子数的分布问题中的主要困难来自对形如的和式的估计。由一个精细的运算,我们得到:引理:如|a(n)|≤1,|b(m)|≤1,则有 用这个引理及Vaughan的恒等式,我们能得到一个更好的估计:假定黎曼假设成立,则Δ(X)=O(X~(7/(22)+e))。