非双曲非临界不变环面的分支

考虑一个在相空间具有非双曲非临界闭轨的n维自治系统的周期扰动系统,研究了该自治系统在空间(x,t)上的非双曲非临界不变环面的分支,得到了2个主要的结果.     

一类二维非线性周期微分方程在退化平衡点的约化

考虑一类二维周期微分方程在退化平衡点附近小扰动下的约化问题.通过引入外部参数,对系统进行仿线性周期变换,将问题化成具有外部参数的系统的约化问题,再由隐函数定理和拓扑度性质,得到原方程的一个约化的标准型.此外,在零点附近得到了一个周期解.     

一类高维Laplace方程的拟周期解

本文利用 KAM 理论,证明了一类带有常位势 m(m>2) 以及 Fourier 乘子Mζ的高维Laplace 方程△u (m Mζ)u u3=0,在周期边值条件下拟周期解的存在性.     

周期驱动非线性系统共振宽度与混沌的研究

本文用准能量法代替Chirikov的“单摆近似法”,讨论周期驱动非线性系统的共振宽度,结果表明本文方法对共振宽度计算精度有所提高。另外,文中还提出了计算岛宽的一个理论公式,经过与大量数值实验比较,证实该公式基本正确。     

KAM理论下的一类哈密顿系统双曲不变环面的保持性

利用哈密顿系统在辛坐标变换下的不变性,考虑一类近可积哈密顿系统:H(q,p,z)=h(p)+12〈Az,z〉+f(q,p,z),在不假设任何非退化条件下,证明了如果在某丢番频率处频率映射有非零拓扑度,则双曲不变环面在扰动下保持.     

二阶微分方程的Mather集和拟周期解

考虑了二阶非线性微分方程ｘ↑．．＋ｘ＾２ｎ＋１＋∑↑ｌ↓ｊ＝０ｘ＾ｊｐｊ（ｔ）＝０，ｘ∈Ｒ＾１，其中ｐｉ（ｔ）是周期为１的函数，１≤ｉ≤ｌ≤２ｎ。证明了：如ｐｊ∈Ｃ＾２（Ｓ＾１），方程有Ｍａｔｈｅｒ集存在；对方程的一些特殊情形，证明了相应的Ｍａｔｈｅｒ集确是不变闭曲线，从而得到解的有界性。     

环面上微分系统的次谐波分枝

本文研究有周期作用的微分系统的次谐波分枝。利用Melnikov理论。确定了奇数阶次谐波的存在性。并且给出了参数区域的明显公式。     

一类对称系统准周期受迫振动的混沌

研究了一类具有对称性的非线性振子的准周期受迫振动,分析了相应未受摄动Hamilton可积系统的全局几何结构,由此用推广的Melnikov方法证明了混沌的存在性,最后与周期受迫振动的情形进行了比较。     

Hamilton系统低维不变环面的保持性

研究可积系统的解析摄动， 即具有更一般形式的Hamilton系统的低维不变环面保持性问题. 通过一个修改的KAM迭代格式建立一个KAM类型的定理.在前人工作的基础上， 证明了近可积Hamilton系统的大部分低维环面没有被摄动破坏掉, 保持下来的环面可以是双曲的、 椭圆的, 也可以是混合型的.