点空间分析--分维与均匀度

对有限空问内的点集定义了独占圆、独占线和独占球。通过对有限点集均匀性的研究,抽象出了均匀度的定义。对分形集定义了度量映射,度量映射产生的点集的均匀度与分维之间有换算关系,可以说均匀性与复杂性是密不可分的。均匀度是对点集格局的一种测度,它描述的是点集的空间关系,而不是点的“多少”,有限点集的均匀度可以取到[01]区间的任何实数,这是它与测度和分维的区别。本文得到两个有趣的常数：一位无限循环小数产生的点集的均匀度为0．1,随机格局的均匀度的数学期望为1／x=0．318。可见,均匀度将空间复杂性转移到了点集均匀性上,它为复杂性的研究打开了新的窗口。     

10是487的Fermat解及其在循环小数中的应用

本文首先证明了10是487的Fermat解,即10~(486)≡1(mod487~2),然后借助这一结果及电子计算机的帮助,基本解决了以质数的幂为分母的分数1/p~n(质数p≠2,5,p<10000,n为正整数)的循环位数问题。     

关于循环节长度计算公式的改进

设p为正整数,p=2α.5β.m,α,β为非负整数,(m,10)=1.若m标准分解式为m=p1t1p2t2…pktk,其中pi为不等于2和5的质数,ti∈Z,令τ(m)=[φ(p1t1),φ(p2t2),…,φ(pktk)],则既约真分数q/p转化为循环小数时,其循环节长度h|τ(m)。     

好玩的循环小数

“虚数的故事”一文（见本刊2009年第1期）中,在对分数的介绍中,举了3个循环小数的例了,即：     

实数十进制小数表示中的几个问题探讨

用纯粹初等方法回答实数十进制小数表示中几个易被忽视的问题：为什么有理数（分数）恰好是有限小数或无限循环小数？如何认识无理数是“无限不循环小数”？如何化无限循环小数为分数？分数能够化为有限小数、纯循环小数或混循环小数的充分必要条件是什么？最后进一步分析了分数表为无限循环小数的大循环部分与循环节长度问题，由于避开了抽象严密的实数构造理论，本文的论述对中学生、一年级大学生可以有很好的启示作用．     

一种超素数的快速算法

利用原根的性质和幂模运算给出了生成超素数的快速算法,特别对于构造大超素数具有重要价值,从而为一种伪随机数生成的新方法--超素数法提供了保证.     

欧拉定理应用的一个注记

关于既约真分数化为循环小数时循环节位数的问题,早有一些现成的结论.本文将利用欧拉定理进一步探讨循环节位数的计算公式.     

循环小数的奇妙性质

[1]中叙述了三个‘世界上数学家还没有解决的难题，即所谓世界难题。’本部分地讨论了第二个问题，发现在一定条件下，许多分数的循环节作为一个数都是9的倍数，证明一类分母是合数的真分数也具有[1]中所述的奇妙性质。