论Gdel不完全性定理及其方法论意义

Godel不完全性定理的发表,是本世纪以来数学领域中所取得的重大成就之一,对数学基础的研究起了巨大的推动作用。这一定理的证明和陈述别具一格,方法独特,深奥难解。鉴于这种情况,本文试图用不长的篇幅对这一定理的含义、证明方法及其重大意义给以全面的论述,以期使人们对这个具有深远影响的重大课题的全貌有所了解,对这一定理的证明所采用的独特方法有所借鉴。     

广义连续统假设的一致性与独立性及其意义

连续统假设问题,是当代数理逻辑中尚未解决的大难题。集合论的创始人Cantor于1878年对这个问题首先提出了一个猜测性的假设(并于1882年宣布他证明了这个问题,随后发现他的证明有错误)。1900年Hilbert在国际数学家会议上的著名讲演中,提出了数学领域中尚未解决的二十三个重大课题中,连续统假设问题被列为第一名,所以也称它为“希尔伯特第一问题”。所谓连续统问题,即连续线段或连续无尽直线上点集合的基数问题,亦即一切实数的集合的个数问题。     

数学结构间的关系初探

数学是研究空间形式与数量的关系的科学。数学理论发展到今天,已经出现了许多分支,并且每一种数学理论都有其相应的语言。确定一种数学理论的语言,就是指确定有关的数学系统的语言。这样的一种语言通常是由一系列符号组成。对于这种反映数学理论的对象与对象之间关系的符号结构,通常称之为数学结构。本文试图用模型论的基本观点探索部分数学结构间的某些关系。这里主要讨论两个结构的同构,同构嵌入,初等等价,初等扩充和初等嵌入间的关系。为了清楚起见,下面分两部分来讨论这个问题。     

论数理逻辑的发展及其对数学基础的促进

逻辑学和数学都是高度抽象的科学,都是以对现实的摹写的思想事物作为自己的研究对象的,数理逻辑是这两门科学的的共同产物,是在纯粹的状态中数学地研究思维的某些规律,是研究推理与计算规律的科学。 数理逻辑的探索研究,是从十七世纪末叶开始的,到现在已有三百年的历史。在这段历史进程中它也同其他科学一样,是应科学与实践的需要,按照人类的认识规律逐渐形     

数学中的公理化方法

公理化方法是数学中一个极其重要的方法,但是,长期以来对这个方法存在着各种不同的看法和争议。因此,如何正确认识数学中的公理化方法,不仅对数学科学本身的发展,而且对与其相关联学科的建设与发展都有重要意义。本文试图从现代数理逻辑的观点出发,对