解析几何中向量代数运算的坐标表示和运算律

根据向量代数运算的几何定义先推出各代数运算的坐标表示。利用这些坐标表示可简化所有运算律的证明；从而为解析几何中向量代数有关部分的教学处理提供了一个简明易懂的新方法。     

关于形变张量场π(y)x-g(x,y)p

本文首先将L.Nicolescu在文[3]中的定理2,3和定理4中(ii)与(iii)的等价性推广到满足如下条件的两个线性联络(?)和(?)间的形变代数:其中(?)(M)是黎曼流形M上所有C~∞问量场的集合,π是一次微分形式,P是由下式给定的问量场g(X,P)=π(X)然后本文讨论了M上半对称度量联络(?)的曲率张量R与Weyl的共形曲率张量C之间的关系,得出了一个C=0的较一般的充分条件,使得[1],[2]中的有关结论只是它的特例.同时进一步指出了[2]中命题3当R≠0时,只有Levi-Civita联络能满足命题的条件,但R=0时,命题3就包含在[1]的定理1中.     

黎曼流形到球面的共形和等距

对于容有一个无穷小共形变换或者—个半对称度量联络的紧致定向黎曼流形,本文得出了它共形和等距于球面的一些条件,从而推广了一些已有结果,特别是定理5和6用于共形平坦的黎曼流形时可将条件简化.     

关于正交表方差分析中平方和的性质

方差分析的优点在于能使总平方和分解为因素、交互作用、误差的平方和,而对许多正交表来说,这种分解可以固定到每一列上.也就是说,总平方和等于各列平方和之和:一个因素安排在某列,则这个因素的平方和就等于这一列的平方和;两个因素交互作用的平方和等于这两个因素所在列的全部交互列平方和之和;各空列平方和之和则为误差平方和.但是,究竟哪些正交表才具有这样的特点呢?文[1]中没有提出一般的结论,只是举了具体的例子,而且没有证明.文[2]中也只是对一个具体的正交表直接展开计算进行了验证.在国内常见的其他资料中也没有这方面的一般论述,我们在进行正交试验的推广和教学中,碰到有些同志提出了这个问题.本文在文[3]的启发下对具有这种特点的正交表的充要条件——完全性和完备性作了一般的论证,以供想了解这个问题的同志参考.     

关于黎曼几何中的法圆公理

本文指出了Toshihiko Ikawa和Toshitaka Toyonari于1983年发表的“黎曼流形中的法圆公理”一文中法圆公理的内在矛盾性。为修改法圆公理,本文提出了使黎曼流形有常截面曲率的几个充分条件作为新的公理,并修改了相应的定理。