谈谈平面几何中的“三大难题”

平面几何中有著名的三大难题:“角三等分问题”、“倍立方问题”及“方圆问题”。初学者往往以为这些问题尚有待解决,于是竭尽全力去探求这些问题的解法。其实这三个问题都是不可能有解的。作者首先以通俗的语言澄清了“不可能有解法”与“目前尚不能解出”两类问题之间的区别,然后以比较初等的方法清晰而简明地证明了角三等分问题和倍立方问题都不能有解。本文对那些有兴趣于此类问题的同志来说,值得一读。     

四色问题和五色定理

四色问题已借助于计算机获得解决,但是它的证明过程不是人力所能完成的.杨忠道教授1979年夏天在复旦大学讲学期间曾就五色定理的证明向数学系学生作了一个简明清晰的报告,从中可以学到如何用严格的数学手段去证明这一看来似乎较直观的问题的方法.现刊登如下,以飨读者.     

代数拓朴的几个应用

拓朴学通常分三大支:一支是点集拓朴,一支是代数拓朴,一支是微分拓朴。 点集拓朴首先介绍拓朴学中许多一般性的概念,如拓朴空间、(连续)映射、同胚、分离公理、连通、紧致等等,而且讨论它们基本性质。这些资料在近代数学各分支中都常用到。所以读基础数学的人,都必须有这些点集拓朴的知识。至于在点集拓朴做科研工作,主要是利用点集拓朴的技巧,向一些尚来解决的重要问题进攻。譬如说,四维Poincare猜测的证明中,一个重要的环节就是当初试用点集拓朴去证明这猜测的一个成果。如果仅将概念做一些细腻的改变,而且所得到的成果对点集拓朴以外的…     

连通尺度流形的第二可数性

近年来,所有微分拓扑的研究工作都把对象限制为第二可数的微分流形。另一方面微分几何所关切的首先是微分流形的尺度性质。大家知道,对于正则Hausdorff空间来说,第二可数性严格地强于可尺度化性(metrizability)。那末,对流形或微分流形来说情况是否仍然如此?这一问题通常是被忽视的,但是不可不解决,否则微分拓扑的定理在微分几何上应用就缺乏足够合法的基础。     

答读者问

自从本刊2卷12期发表杨忠道教授的文章《谈谈平面几何中的“三大难题”》以后,不断收到读者来信,有的对文章的论述表示怀疑,有的试图证明“难题”有解,并提出自己的作图方法。我们除分别答复读者,说明“难题”确实无解,指出所有作图方法和“证明”均属错误外,还将部分来信寄往海外请作者阅看。现将杨忠道教授的答复刊登如下,今后凡属这方面的来信,恕不再一一作复。