几何学的重建者——曼德布罗特

究竟有哪些科学家曾经说过自己的所作所为是具有革命意义的?科学史专家艾·伯纳德·科亨(I.Ber-nard Cohen)查遍了列入发明史的人物,牛顿不曾说过,伽利略不曾说过,弗洛伊德也不曾说过,达尔文和爱因斯坦等其他十六名科学家都没有说过。一个风和日丽的日子里,离我们这个时代最近的一位——B·曼德布罗特,在马萨诸塞州的伍兹赫尔(Woods Hole)登台,准备在海滨科学野餐会上发表演讲,宣传自己的独特的变革。他来到伍兹赫尔海洋绘图学会,由于自己的演讲未被列入日程表有点恼火。当他步入会场时,在前排,二个研究人员正在为《科学美国人》上的“曼德布罗特集合”的计算机图大伤脑筋,那是被列入数学上最复杂对象的一种数字构造。他听着关于自己的介绍(“…在哈佛大学教经济,耶鲁大学教工程,爱因斯坦医学院教生理学…”)。他把麦克风别在自己短袖衬衫的前襟上,信心十足地开始了发言:“每当听到对我以前的工作的罗列,我总惊异于自己究竟是否存在。如果把这些工作看作集合,这些集合的交集肯定是空的。”的确,整整三十年里,曼德布罗特在一些相当不同的领域中从未被接纳过。他始终是个世外人。在一些学科里,他摒弃传统、一反常规地进行探索;并且为发表文章,不得不隐藏自己的最重要的思想。而他自身的生存,则主要是赖于约克郡高地的IBM公司的托马斯·杰·瓦特逊研究中心的同事们的信任。     

Fractal几何与维数

经典的欧几里德几何的研究对象是直线、圆、锥和球这一类非常规则的几何图形,然而在自然界中出现的几何实体要复杂得多,例如:山不是锥、云不是球、闪电不是直线,雪花的边缘曲线不是圆。再如宇宙中的点点繁星所构成的集合亦非经典的几何所能描述。这些极不规则、极为碎裂的几何形体的结构正是断片(Fractal)几何的研究对象。由于这一学科有极强的应用背景,尤其在70年代末80年代初在物理、化学、工程、经济等领域中取得重大突破,因此近年来发展十分迅速,并且不断地向更多的学科渗透和深入。     

Moran集与Moran集类

介绍Moran集与Moran集类，它们从下同几个方面推广了经典的自相似集：1）逐阶基本集的相互位置可以任意变化；2）逐阶压缩比可以变化；3）压缩比的下确界可以为零。介绍上述集合与集类的几何性质与维数估计，并讨论它们的非线性推广和随机推广。     

Moran集的网测度性质及其应用

1 Moran集 设为内部非空的有界闭集;为一列正整数序列,n_k≥2,k≥1;为一族正实数序列,其中,记,约定设的子集族称为具有Moran结构,如果它满足: 1.对任意与J相似,亦即存在相似映射,使得约定。     

纲函数,度量和Hausdorff测度的关系

讨论加倍条件,Hausdorff测度的等价性及度量的等价性之间的关系.证明了Hρ,g 1与Hρ,g2对所有紧度量空间(X,ρ)等价,当且仅当纲函数g1与g2等价;对于给定的c∈(0,∞)＼{1},证明了Hρ,g和Hcρ,g对所有紧度量空间(X,ρ)等价,当且仅当纲函数g满足加倍条件.其中Hρ,g是X上关于度量ρ与纲函数g的Hausdorff测度.