曲纹线汇与空间的捷比西夫系

本文分两段,前段就一般的曲纹线汇讨论。首先我们求得线汇中任一曲线单位切线的两种并向量式与,其次决定线汇之曲线在任一点任一方向内的趋量与矩量,及零趋量与零矩量公式。随后我们求得向量的散度展开式与函数的数量式,示明方程与方程的相当性,及C.E.Weatherburn氏用不同方法导出的限点曲面的两个互异公式间之矛盾。但它们在正线汇之情形为一致的。后段推广苏联数学家创立的所谓曲面上的捷比西夫系于空间,构成空间的一种曲纹坐标系,并引用前段之结果求其基本性质,分别求得各坐标线汇的焦点曲面,腰点曲面,限点曲面,正点曲面,端点曲面等方程,并论及各坐标面上的基本性质及其等距曲面与其成为平行面族的充要条件。     

关于彭莱相对挠率定理的推广

本文目的在于将通常空间的彭莱相对挠率的公式推广于欧氏四维空间。 1)用四维空间向量外积概念,求出超曲面上短程线的第一,二,三曲率如下:其中符每表输换和 2)应用动标形理论:我们求得超曲面上曲线的伏热勒标形和标形同达尔布标形之间的关系,复应用1)之结果导出最后的推广公式如下:     

曲面基本定理之又一證明

1.當曲線的曲率和撓率为其弧長的函數已知時,則曲線除在空間的位置外,其形狀完全確定。關於曲面的相似定理,首先由彭萊(O.Bonnet)氏於1867年證明。近蘇聯數學家氏於其所著微分幾何中用兩參數動三面形移位證明下述的定理:     

n维欧氏空间一个新的向量公式及其应用

1.首先证明一个新的向量公式:其中r_1,…,r_(n-1)为n-1个线性无关的向量。 2.应用上述公式讨论n维欧氏空间的反图法。在n-1维超曲面的反图变换中,示明反图变换为保角表示法,曲率线系的反影仍为反超曲面的曲率线系,反超曲面的主曲率,全曲率与平均曲率为原超曲面的主曲率的函数等。 3.最后导出公式(1)在四维空间与通常空间之特殊形式,