论线性算子迫近阶的改进

我们知道,当Un(t)≥0时,U_n(f,x)对f(x)的最好迫近阶是O(n~(-2)),为了改进算子的迫近性质,提出了构造有限振荡核的方法。例如‘G.Bleimann和E.L.Stark证明[1]。对于     

线性算子迫近连续函数的渐近展开

设f(x)〔C:二,f(x)~丛一 名飞一二(a、eoskx bk sinkx).名k.0A、(f,x),U。(f,x)_.lf’,,_.二、二,、、」、一丽J_二’、x,I-t声“n、t’u‘’二,‘、_1“巨、11‘,汀宁 ‘云p(u)。。skt,k一Ik{二,二‘,,,d,=。“’,1 imp普双)二1(k二i,2,…)。我们知道(二〕,假如对每一正整数k,成立着 i一p聋.)1 im—=皿一一p釜.〕价、笋0,(1)那么,U二(f,x)迫近f(x)的饱和阶为O(1一p圣u〕),并且,当r(x)属于饱和类时,习吵‘Ak“,x)〔L.但是,逆定理并不成立。也就是说,E协Ak“,x)〔L一并不一定包‘.1 k.1含u二。.f,x)一f(x)==O(1一p圣.))。只有在ua(t))o…     

关于渐近展式中数C_(p,q)的几点注记

而对于一般的有界卷积型线性算子,在[2],[3]中,曾指出了其中不少算子迫近可微周期函数时具有如下形式的渐近展开:     

保凸性逼近的一类误差估计

以Π_n记阶数不超过n的代数多项式的全体,在代数多项式的逼近问题中,保凸性的代数多项式的逼近问题,即对于凸函数f(x)∈C[-1,1]用凸的p_n(x)∈Π_n逼近的问题,很引入注意。R.K.Beatson和A.S.Shvedov[1],[4]曾证明,对于凸函数f(x)∈C[-1,1],存在着凸的p_n(x)∈Π_n,使得     

某类凸函数的保凸逼近

本文证明了当凸函数f(x)(∈C~2[0,1])满足ω型强凸性条件时,存在着凸的n阶代数多项式Pn(x),使得|f(x)-P_n(x)|≤Cn~(-2)ω(f″,1/n)     

论线性算子的渐近性质

设f(x)〔C:一,f(x)~要 石 公(an eos 扭.1nx b。5 in nx).公A。(x)tJ二(f,x)=1「,。,__二、下J一ff‘、入一工少un、t’u‘’u二(t)=1一二~十咨二_(。,.之‘p COSKt,七.Ik对于正整数p,记 (的!》 △pP,=名(一])甲留0如)p一,z。、(幻(的 又答)p一p。“我们的兴趣在于研究量△pp 设p、j是正整数,i己和U。“,x)迫近f(x)的渐近性质之间的关系。‘、.矛了Pk ,Sp(j)“云(一1)卜k k.0豁,s·‘。’“。’Cp,。= qCl、,;“一三Sp(p十‘)Cp ,,q一在〔5〕中作者证明了 定理A.设m是正整数,u。(O》0,且满足下列条件:仁,2,11一u。(t)d。=。(!△2田…     

多项式的倒数对可微函数的逼近

设非线性函数,f(x)∈C[-1,1]是非负的,f′(x)∈C[-1,1],f■(x)=f(x) ε,其中ε<0,C■是与ε无关的常数,当,f(x)满足[f'(x)]~2/f_■(x)≤C■时,存在次数不超过n的代数多项式P_n(x),使得f(x)-1/P_n(x)1≤C_f~″·1/nω(f′,1/n)(C_f~■仅与C■有关)。根据这个定理,得到多项式f(x)=x~2或x_ ~2的倒数的逼近阶是0(2/n~2)。     

关于单调逼近和凸逼近的一些注记

本文指出了对于任意的正整数m,如果f(x)在[0,1]上有非负的连续导数,则存在着导数为非负的n阶代数多项式Pn(x),使得||f(x)-pn(x)||≤Cmn~(-1) ωm(f′,n~(-1)),我们还证明了:如果凸函数f(x)具有f(3)(x)∈C[0,1],且f(3)(x)非负(或非正),则存在着凸的n阶代数多项式Pn(x),使得||f(x)-pn(x)||≤Cn(-3)||f(3)(x)||。