关于同调代数与微分拓扑的若干注记

早在本世纪初期就看出,大部分数学方法都育孕着代数和拓扑相协调的混合物.大约在四十年代,“近世代数”和拓扑学已明显地可以称为“基础数学”了.根据N.Bourbaki在其《数学的构成》一文中的分析,数学中最基本的结构(称为母结构),是代数结构、顺序结构和拓扑结构.为什么这三种结构位于“宇宙的中心”?这问题并不容易答复.我们试从下面的要点来考虑代数与拓扑的问题:     

微分流形的几何_一_

本文综述微分流形的一些有关问题.内容主要是:微分流形和微分映射;向量丛及分类定理;横截性的一般理论;协边理论其中着重阐明利用Thom空间来计算交换群W_n;最后是Morse不等式和同调的关系.     

微分流形的几何_二_

1954年Rene Thom提出了等价关系协边(Cobordism).就像数学上其他重要观念一样,Thom的基本概念亦是非常的简单.两个流形是协边的(Cobordant),假如它们共同构成某紧致流形的边界.在每个维数,由这种关系所形成的协边类可成为一特定结构的交换群,由此可得到对于紧致流形族更深入的研究与了解.Thom证明这些群与某些同伦群一致,并且算出了不少这种群.协边理论是横截性(Thansversality),管状邻域(Tubular Neighborhood)以及向量丛分类之间的优美的协调.关于协边理论的详细叙述可从下列两书得到:     

非标准实数系*R的结构简介

非标准分析,是本世纪六十年代才创立起来的数学分支。众所周知,运用极限方法(即通常所律ε—δ方法)在实数体R上建立起来的数学分析,我们称为标准分析。而在非标准分析里引进了一种新的实数系~·R,它是原有实数系R的一个特殊的扩充。利用无穷小量方法建立在~·R上的数学分析,我们称为非标准分析。非标准分析的特点之一,是运用新实数系~·R,去研究客观现实世界中的数量关系和空间形式。~·R包含了通常的实数系(R中的数称为标准实数),同时它还包含非标准实数,其中无穷小量和无穷大量两种非标准实数特别重要。它们和标准实数比较呈现出质的差异性。~·R中的数同R中的标准实数一样,对它们能施行加,减,乘,除等运算,并且像标准实数一样,按照数的大小顺序排列在数轴上,从而形成一条“非标准的实直线”,如下图所示: