关于Z_(n,k)(S)的均值公式

1.引论。作者之一曾建立Z_(n,k)(s)的均值公式,但由于引用了一个错误的定理(文中引理2·4,亦即内定理74)所得均值公式(文中定理3·1与4·1)是需要修改的。本文的主要目的是改正内的错误,给出正确的Z_(n,k)(s)的均值公式,其次是叙述并讨论关于Z_(n,k)(s)的几个猜测,在全文中用n表正偶数,用v表1/n。     

关于表充分大的整数为素数和

于1930年证明了存在一绝对常数k,充分大的自然数n均可表为不超过k个素数的和,此常数称为常数,其后曾有多数作者致力于明确的定出它的值,1937年Ricce得到了当时的最好结果k≤67,同年苏联社会主义劳动英雄院士证明了充分大的奇数可表成不超过三个素数的和,这样k≤4,但这里     

关于圆内整点问题误差项的估值

令R(x)表在园u~2+v~2=x内及其园周上的格点个数,大家知道当x→∞时,格点个数与园面积相抵,问题在于估计它们间相差数的阶。这个问题,不少数学家曾对之迭加改进,精益求精。其历史推进概况华罗庚先生曾在裘译著的数论基础序言中作过介绍,前此最佳结果则为华罗庚教授于1942年获得,即我也会致力于改进此问题的结果,并于今年     

关于三维除数问题

令d_3(n)表n=pqr的解数,D_3(x)=sum from n≤x to (d_3(n)),又用P(x)表某一确定的二次多项式,众所周知 D_3(x)=xp(Log x) Δ_3(x).令θ为使Δ_3(x)满足Δ_3(x)(?)x~z的α的下确界,Voronoi,Walfisz,Atkinson及越民义先生分别证明了     

关于正整系数线性型的最大不可表数—Frobenius问题

n个变量的正整系数线性型f_n=a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n(其中a_i为正整数,x_i取非负整数),当(a_1,…,a_n)=1时,可表一切充分大的自然数。自然提出一个问题:如何求此型的最大不可表数M_n?这问题在堆垒数论和概率论中有其运用(参看[9]p.211和[7]P.261)。对于n=2的情形,问题方化解决。对n≥3,柯召等很多人讨论过;特别是n=3时,有比较完整的结果。本文用初等方法改进了一般n的结果,特别讨论了n=3,4的情形,分别较尹支霖和李培基的方法略简一些。     

关于三元线型的一点注记

对正整体数三元线型ax by_cx,(a,b,c)=1,x,y,z≥0,的最大不可表数M_3及全体不可表正整数个数N_3,在文[1]中曾作过详细的讨论,其后,在[2]中,又作过另一些讨论。在这些讨论中,都引进了一组无疑存在的参数,但都没有给出这些参数与给定系数的确切关系,亦即未曾给出通过给定系数a,b,c求出参数的公式。在这短短的注记里,我们力求指明各参数与给定系数的关系。精确些说,我们将证明公式     

关于Erds的一个猜测

P.Erd~s管经猜测:(1)任意咒个连续的正整数 m+1,m+2,…,mq-诏总可以重新排列成粥+Z1,m+f2,仇+Z。使(2) (慨+岛,歹)=l,,=l,…,n._-- '本文将证明I≤铭≤17016时,这个猜测成立。’¨_,、,、…‘,-,、,～_～’Ⅲ●Ⅲ…’…’,— 定理1.佗=p“,p为素数,若对于<诏的数(2)成立,贝U对于铭,(2)亦成立。 征: 设l,2,…,％一l,竹p。,此时％至少与(1)序的m+1和忱+铭‘中的一个巨素。设为(m+l,锡)=1,则(1)中m+O,…,m+n为彻一1个连续整数,由假设知其可与l,…,彻一1排}。 引理2. 若％=∥q’,舻,g为奇素数,佗一2--r。,r为素数,叉设(2)对于<％时成立,则当 …     

关于正整系数线性型的最大不可表数

1.引言n个变量的正整系数线性型,当变元取非负整数时,型值亦为非负整数。又当n个系数互素时,充分大的自然数均可表为这样的型。令M_n为上述型所不可表出数中的最大者。如何求出M_n是一个没有解决的问题。这一问题曾引起人们的注意,柯召教授、陆文端,陈重穆,J.B.Robcrts,先后作过若干讨论。较完整的结果见陆文端与吴昌玖及李培基。文[7]中对一般n给出了M_n的上限及其含未知参数的形状,在n=3的情形,则给出了全部解法。这个解法中要     

Z_(n,k)(s)与一个格点问题

1.设Rs=σ>kv(v=n~(-1),n是正的偶数)则依定义 其中 当c>kv>α及N>0时,不难验证 这里用到Z_(n,k)(w)在唯一极点s=kv的残数及Z_(n,k)(s)是有限阶的。我们取(1.2) 其中φ(x)是正的函数。对于充分大的A,我们有     

ξ(1/2+it)的阶

本文的目的,在于给出取得6/(37)这个估值的详尽纲要,欲求此估值的主要困难在于首先,三个二级微商(Ψ_(xx),Ψ_(xy),Ψ_(yy)(参看下文(6)式),在某些区域内的确同时都很小,这使得所谓反转公式(步骤B)失去效用;其次,当参数(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3)固定且适合某些条件时,所谓Hessian H=Ψ_(xx)Ψ_(yy)-Ψ_(xy)在x-y平面内的确在相当大的区域内其值很小,这使得中用一维方法处理H的小值区域的这个办