关于两个非线性递推数列的通项

利用数学归纳法和特定系数法,通过证明某些整系数一元高次方程有且只有一个特殊的正实数解,得到两个非线性递推数列的通项公式,从而推广了1989年全国高中数学联赛第一试第五题的结果。     

关于丢番图方程x~3±3~3=3pqy~2

主要利用递归数列、同余式、平方剩余以及Pell方程解的性质证明了当p≡1(mod 12),q≡12s2+1时,丢番图方程x3-33=3pqy2仅有整数解(x,y)=(3,0);当p≡1(mod 24),q≡12s2+1时,丢番图方程x3+33=3pqy2仅有整数解(x,y)=(-3,0).     

关于不定方程x3±8=35y2

利用同余式、递归序列的方法证明了不定方程x3 8=35y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(3±1);x3-8=35y2仅有整数解(x,y)=(2,0).     

Alzer不等式的进一步推广

设{an}∞\{n=1\}为严格单调上升的正数列,给出若干条件使得下面的不等式对任意的正实数r成立(an)/(a\{n+1\})<(1)/(n)∑ni=1ari(1)/(n+1)∑n+1i=1ari\{1/r\},n≥1.这个结果推广了目前文献中已有的相关结果.特别是,在上式中置ai=i便可得到Alzer不等式.     

数学娱乐（五）——推广Fibonacci数列与幂级数和

推广Fibonacci数列是指a0,a1不为零的实数,an=an-1＋an-2,n≥2.本文探讨推广Fibonacci数的性质以及x∑n=0 α^knx^n（k=1,2,3）的级数和.     

关于Diophantine方程x^3＋1=201y^2

本文应用递归数列、同余式证明了丢番图方程x^3＋1=201y^2仅有整数解（x,y）=（-1,0）,（440,±651）．     

广义递增-递减函数与复合函数的广义凸性

给出了广义递增-递减函数的概念,并讨论了它与递增-递减函数的关系,在广义梯度的基础上,得到了一类复合函数的凸性、广义伪凸性和拟凸性的判别准则.     

一类递推数列渐近性的几个结果

本文讨论了一类形如a_(n+1)=a_n+f(a_n)的递推数列{a_n}的渐近性问题。对满足一定条件的f(x)得到了相应的结果,这些结果是文献[1]—[8]中的总结和推广。文中还给出了许多应用实例,所用方法比文献[1]—[8]中的方法简单。     

迭代加权平均值问题初探

本文对两个数和三个数的算术迭代加权平均值,几何迭代加权平均值、调和迭代加权平均值这一类极限作了一些探讨,给出了这类极限的计算公式。1．两个数的选代加权平均值定义1设x1＝a,x2一b,x。一o一户）x。－l十户x。。（n＞3,0＜户＜I）,称数列（X。）的极限为a到b的算术迭代加权平均值,记作AP（a,b）为计算A户（a,b）,我们先来求（。｝的通项公式,由数列｛x。｝的递推方程可得人一人一;—－p（x。－;－x。－。）（n＞3）即数列｛x。－x。－;｝是公比为一户的等比数列,它的前n—1项之和为将x;一a,x。一b代入上式即得｛x。…     

用特征方程推导斐波那契数列的通项公式

斐波那契数列是一个古老的问题,吸引着无数人的兴趣,而其通项公式则是在这个数列诞生之后很长的一段时间后才用数学归纳法解决的.受微分方程中常系数线性微分方程的代数解法的启发,本文采取常系数线性递推方程的特征方程解法推导出斐波那契数列的通项公式。