关于Lucas猜想的推广形式

利用初等数论方法,证明了丢番图方程x(x 1)(2x 1)=2py^2在素数p≠1（mod8)时,仅有正整数解（p,x,y）=（3,1,1),(3,24,70),(11,49,105)。从而,获得了Lucas猜想的简洁初等证明,同时,基本解决了丢番图方程x(x 1)(2x 1)=Dy^n的求解问题。     

关于丢番图方程x3+y3=Dz2的通解公式

设D是无平方因子且不被6k 1形素数整除的正整数，运用初等数论方法，获得了丢番图方程在x^3 y^3=Dz^2在D=l，2，3，6时全部整数解的通解公式及其解的深刻性质，从而推进了广义Fermat猜想与Tijdeman猜想的研究进展。     

Dirac猜想成立的一个等价命题

本文对顶点数不超过11或当v(G)≥9+K(K=1,2,3)且G中至少含有K个次不小于v(G)-K-3的顶点的特殊图证明了Dirac猜想,从而给出一个与Dirac猜想成立等价的命题。     

关于丢番图方程x4±y4=zp

研究了丢番图方程（１）ｘ４＋ｙ４＝ｚｐ,（ｘ,ｙ）＝１和（２）ｘ４－ｙ４＝ｚｐ,（ｘ,ｙ）＝１的正整数解,证明了：①当ｐ＝３时,方程（１）和方程（２）均无正整数解;②当ｐ＞３是素数,ｐ±１（ｍｏｄ８）时,方程（１）的正整数解满足２ｐ｜ｘ或２ｐ｜ｙ;③当ｐ＞３是素数时,方程（２）的正整数解满足２ｐ｜ｘ或２ｐ｜ｙ或２ｐ｜ｚ．     

猜想σ((n))/n≥1/2

本文证明了当k≤7,a1 >a2 > >ak>1,且ai+1 (i=1,2, ,k)是素数时,σ ∏ki=1ai ≥∏ki =1(ai+1 )成立,进而证明了当n素因子个数不超过 7时,猜想σ( (n))/n≥1/2成立     

方程xp±y2p=z2与广义费尔马猜想

设p为奇素数,证明了丢番图方程x4 -y4 =zp 与x2p±y2p=z2 均无正整数解;方程xp y2p=z2 仅有整数解 16 2 3 =32 ;方程x2p 2 kyp =z2 (k≥ 1)仅有整数解 12p 2 3 · 1p =32 ;同时还获得了方程x2 ±y4 =zp与x2 ±y4 =±z2p 的深刻结果,从而很大程度地支持广义Fermat猜想.     

一类非交换群的自同态和自同构数量

基于群理论下一类非交换群的群结构以及元素的阶,计算一类Sylow p-子群为循环群的2qpⁿ(q为奇素数)阶非交换群的自同态个数和自同构个数,并验证其自同态个数满足T.Asai和T.Yoshida 猜想。