关于丢番图方程(a2-b2)x+(2ab)y=(a2+b2)z 的一点注记

设r,s,t是两两互素且满足r2+s2=t2的正整数,1956年,Jesmanowicz猜测对任意给定的整数n,丢番图方程(rn)x+(sn)y=(tn)z仅有正整数解x=y=Z=2.讨论n=1,r=a2-b2,s=2曲,t=a2+b2,b=2m,(a,b)=1,a＞b＞0的情形,在a,b之一不含4k+1型素因子,a,b满足若干同余式与不等式的条件下证明了Jesmanowicz猜想成立.     

关于等幂和的简捷递推公式

等幂和S m(n)=1 m+2 m+…+n m是一个古老的难题,在G.Giuga猜想等数论问题的研究中有着重要的作用.本文获得了等幂和的两个简捷递推公式,从而改进了陈景润与黎鉴愚的结果.利用这些递推公式可以很快循环地获得等幂和公式,并且给出了第31～40个等幂和公式.     

关于丢番图方程x4+mx2y2+ny4=z2

利用初等数论和Fermat无穷递降法证明了方程x4+mx2y2+ny4=z2在(m,n)=(18,27),(-9,-27).(±9,27),(±18,-27),(18,189),(-36,216)时均无正整数解,并且获得了方程在(m,n)=(士6,24),(±12,-60),(9,-27),(-18,189),(36,216),(-18,27)时的无穷多组正整数解的通解公式,从而完善了Aubry等人的结果.     

关于丢番图方程x3+y3=pDz4

设p≡5(mod6)是素数,D是无4次方因子且不被p和6k+1形素数整除的正整数,运用数论方法,获得了丢番图方程x3+y3=pDz4在D=1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,27,36, 54,72,108, 216时无整数解的充分条件,从而推进了广义Fermat猜想和Tijdeman猜想的研究进展.     

关于Tijdeman猜想（I）

设p≡5（mod6)是素数，D是无平方因子且不被p和6k 1形素数整除的正整数，运用初等数论方法，获得了丢番图方程x^3 y^3=pDz^2在D＝1，2，3，6时全部整数解的通解公式及其解的深刻性质，从而推进了广义Fermat猜想与Tijdeman猜想的研究进展。     

关于外平面图的完备着色

本文证明了对每一个△(G)≥3的外平面图G,有X~c(G)≤△(G)+3,其中X~c(G)为G的完备色数,△(G)为G的顶点最大度。     

多面体欧拉定理的另一种推广——兼欧拉示性数本质探讨

本文指出欧拉示性数2实际是1，并把多面体歌拉公式推广到有限个点线面、体综合体都适用，示性数1本质是指n维几何系统所在空间的唯一性，并提出n维几何系统统一公式的猜想．     

欧拉猜想的计算机证明：六阶正交拉丁方对的不存在性

本文阐述了这样的一个算法，即利用一个栈组通过构造及搜索解答树的所有结点，证明了Ｅｕｌｅｒ猜想在ｎ＝６时不成立，亦即没有六阶的拉丁方对。     

中立型泛函微分方程的Hunt—Yorke型振动定理

对于中立型泛函微分方程d/(dt)[x(t)-P(t)x(t-τ)]+Q(t)x(t-σ)=0,t≥t_0在系数条件更弱的情形下,证明了Hunt-Yorke型振动定理。     

一个猜想的证实

把点看作是半径为零的圆，则点和圆可以统一起来，都看作圆。点就是半径为零的圆，称为“零圆”。本文根据这个思想，提出“是否可以把勾股定理、托勒密定理加以推广”的猜想，并证实此猜想是正确的，同时给出应用举例。