集合论与初等数学

集合作为数学的基础概念在中学数学教学中虽然占的比例不大,但却是一个很重要的概念,而且成为每年全国普通高等学校招生考试中的必考内容。更应该引起我们注意的是,在中学数学教学中有不少概念、说法都是与集合论密切相关的,而事实上注意这些问题的人并不多,或者说没有引起足够的重视。例如: 1)在讲集合论中集合的运算时要事先指定一个全集I,为什么?     

“万物皆数”的破灭与再生

希帕苏斯利用勾股定理发现了无理数,使＂万物皆数＂观点破灭.而为了破解无理数之谜,在验证无穷、连续性等问题方面,许多学者作出了贡献,从而使此观点得以再生与发展.     

证明√2是无理数的四种方法

本文从初等数学和高等数学的不同角度，给出了√2是无理数的四种证明方法，并证明了对于任意正整数K，只要K不是完全平方数，就有√K是无理数。     

关于无理数的丢番图逼近的一个注记

得到关于无理数的丢番图逼近的一个定理和一系列重要推论。指出并订正了文章“Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ Ａｐｏｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｓｉｎｇｌｅ Ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ Ｎｕｍｂｅｒ”中的一个错误。     

怎样在任意两个有理数之间找到一个无理数

文章通过实例解答以及理论上的论证，说明了在任意两个有理数之间总能找到一个无理数，不管这两个有理数之间的距离有多接近，都一定能找到。     

一类无理数的推广

1984年Bundschuh[2]证明了:设整数g≥2,则 a_h(g)=0.(g~0)_h(g~1)_h(g~2)_h……是无理数。这里(g~n)_h是幂g~n在h进制中写出的数字。他所用的方法既复杂又牵涉更高深的p-adic理论。我们发现这个定理可以推广到具有正的上密率的数列上去,而且证明方法只用到一些较初等知识就行了。     

中国古算与实数系统(二)

与古希腊欧几里得系统的形数脱节者不同,中国古代数学中形与数是从来形影不离的.线段总是赋有长度,平面与立体都赋有面积与体积.正是由于长度与其他各种量度所需进行的计算产生了有理数、小数以及实数系统.     

三个著名无理数的有理表达式

π、e、φ是数学上三个著名的无理数,在初等数学看来,无理数与有理数是不相容的.但用高等数学的极限、级数思想方法,π,e,φ三个无理数却能用有理数表达,这说明二者既对立又统一.     

有关无理数“√2”的新认识

数“√2”的出现，在数学发展史是一件不寻常的事，它终导致了“第一次数学危机”．     

求解初中数学实数问题方法解析

作者多年从事初中数学教学,积累了比较丰富的教学经验,根据多年初中教学,利用实数的基本性质,用一系列例子,总结了初中数学中实数计算方面的一些技巧.