方程∑si=11xi+1x1…xs=1的解以及Znám问题的解数

设s为正整数, Ω(s), Z(s), H(s)分别表示方程∑si=11xi 1x1...xs=1、Znám问题以及同余式组x1...xi-1xi 1...xs 1≡0(modxi)的解数. 作者给出了两种构造方程的解的新方法, 证明了Ω(8)≥73, Ω(9)≥279, Ω(10)≥576, 并且进一步改进了方程的解数、Znám问题以及同余式组的解数, 证明了当2|s≥12时, Ω(s 1)≥Ω(s) 101, 且在2s≥11时, Ω(s 1)≥Ω(s) 70.     

关于不定方程x~3±1=6pqDy~2的整数解

设Q=6p_1…p_sr_1…r_n(s,n∈Z_+),其中p_j≡1(mod 6)(j=1,2,…,s)为奇素数,r_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为奇素数.关于不定方程x3±1=Qy2的初等解法至今仍未解决.利用同余式、Legendre符号的性质、递归序列、Pell方程解的性质证明了:当D=r_1…r_n(n∈Z+),r_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为奇素数,p≡q≡1(mod 6)为奇素数,(p/q)=-1时,不定方程x~3±1=6pqDy~2仅有平凡解的两个充分条件.     

一个同余式的简单证明

给出了下列同余式的一个简单证明∑ｐ－１ｋ＝１１ｋ２ｋ≡∑（ｐ－１）／２ｋ＝１（－１）ｋ－１ｋ（ｍｏｄｐ）．     

多元覆盖阶数和维数的相互关系

将覆盖同余式推广到多元覆盖的情形,给出了多元覆盖的定义,证出了当{〈μ_(il),…,μ_(in)〉(〈m_(il),…,m_(in)〉)}_(i=1)~k为一个 n 元的覆盖系时。若 k≥n,则有 k≥n (?)(min{m_(n 1),…,m_k}),这里(?)表示欧拉函数,m_i 表示 m_(il)…,m_(in)的最小公倍数。     

杨辉三角与素数的关系

设p为素数,s,t∈N,a=t∑i=0 aip^i,r=s∑i=0 rip^i,这里ai,ri∈N,0≤ai≤p-1,0≤i≤t,0≤ri≤p-1,0≤i≤s,证明了Ca^r=Ca0^r0…Cas^rs（mod p）和Ca＋r^r≡Ca0＋r0^r0 Ca1＋r1^r1…Cat＋rt^rt（mod p）两个同余式．据此导出了杨辉三角的第a行以及第0行至第a行的二项系数中,使Ca^r≡0（mod p）的个数和使Ca^r≡0（mod p）的个数,推出了斜列{Ca＋r^r：r=0,1,…}中使Ca＋r^r≠0（mod p）的个数和使Ca＋r^r≡0（mod p）的个数．     

序列{U_n}模素数幂的同余式

设{Un}是如下定义的序列:U0=1,Un=-2[∑n/2]k=1n2kUn-2k(n≥1),这里[x]为取整函数,本文利用孙智宏建立的同余式,获得U2n(mod 35),U2n(mod 2α+16)(n≥8且2α|n)以及U32k+b-Ub(mod 256)的同余式.     

同余式2n-4≡1(mod n)的解

设a,b,c,k为给定的正整数.同余式acn-k≡b(mod n)的求解问题是数论中一个基本而重要的课题,Rotkiewicz,Shen Mok-Kong,Kiss和Phong,袁平之,张明志等学者均作过许多工作.本文研究了同余式2n-4≡1(mod n)的解,获得了同余式解的一些充要条件.借助计算机,作者求出了当n≤1010时该同余式的所有解,并得到了当n>1010时的许多解,包括含有k个因子的解,其中k=3,4,…,8.最后,提出了关于同余式的一些问题与猜想.     

勒穆瓦纳猜想的证明

通过对同余式方程组是否有解的分析判定,运用数学归纳法成功证明了勒穆瓦纳猜想。勒穆瓦纳猜想的等价命题是本证明方法的关键之处。     

关于不定方程x^3+27=91y^2

讨论不定方程x3+27=91y2的整数解.方法主要利用同余,递归数列,以及Pell方程的性质,给出了不定方程x3+27=91y2仅有整数解(-3,0),(4,±1);推广了不定方程的研究范围,为进一步研究提供了方向.