部分分式的公式法

本文提出一个分解为部分分式的公式法及其证明。它较之常用的待定系数法简捷,并举例说明。     

积分因子:逐步求μ法

本文将积分因子推广,引入逐步因子的概念,指出它的一些性质以及和积分因子的关系;并考察了它们的产生背景;提出了逐步求μ法,对于求方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的积分因子提供了方便。     

关于代数极限环的注记

一般说,极限环本身不易直接用式子所表出,但有些情形它却能以代数闭曲线的形式出现。文考虑了Lienard型方程的代数极限环的情形;文,考虑了方程(E_2)及(E_3)具有二次代数极限环y~2 x~2-1=0的情形。本注记讨论方程(E_2)及(E_3)能否具有形如y x~m-1=0(n,m为非负正数)的代数曲线作为极限环的问题。     

关于一类二次系统的极限环

§0.平面二次系统x=a_(11)x a_(12)y y~2 y=a_(21)x a_(22)y-xy cy~2(1) 其中aij,c均为常数。在文[1,2]中得到研究。在一定的条件下,它是所谓的有界系统,对于该系统的轨线的大范围分析,除了极限环的唯一性,或广泛地说极限环的个数这一问题外,是取得了很大的进展的。本文目的是对系统(1)的极限环,探讨其唯一性及其它一些问题。本文利用作Dulac函数及其它的办法,指出了在一些条件下,系统(1)不存在极限环;利用将系统(1)化为Lienard方程的办法,建立了极限环唯一性的判据;还指出了系统(1)不可能存在单调接近的极限环。     

一类平面二次系统极限环的存在性、唯一性和不存在性

在本文中,我们研究二次系统(?)=a_(11)x a_(12)y y~2 (1)(?)=a_(21)x a_(22)y-xy cy~2的极限环的存在性,唯一性和不存在性。此系统很自然地产生于〔1〕中齐二次型的Marcus 分类。对这系统所有可能的相图在〔2〕和〔3〕中已被确定。系统(1)的具有一个和两个极限环的例子,在〔4〕和〔5〕中已经利用旋转向量场和广型旋转向量场的理论而获得。然而,在〔4〕中极限环的唯一性未被建立。在本文中我们要建立当a_(11)=0时(1)的极限环存在性和唯一性。一般情形下的唯一性是很难建立的。然而当a_(11)=0时的情形,即     

两物种竞争的一类方程

本文考虑两种相互竞争的物种,其数学模型是三次微分系统E_3中的一类。文中使用常微分方程定性理论方法,指出在什么条件下,一物种生存下去,一物种消亡;在什么条件下,两物共存。     

关于积分号下取极限

本文提出一致可积概念,从而推广了积分号下取极限的Weirstrass 定理。     

具有抛物线弓形解的二次系统

本文研究具有抛物线弓形解的二次系统,并绘出其全局结构图;还得到具有抛物线解的二次系统可以有极限环。     

二次微分系统中的某些转化

对于二次微分系统。首由叶彦谦教授将其分为(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)三个类来进行研究,并取得了巨大的进展。新近我们发现,某种(Ⅰ)类方程经过适当的非奇异变量代换后,可以转化为另一种(Ⅰ)类方程;而某种(Ⅱ)类方程也可以转化为某种(Ⅰ)类方程.这样一来,对某种方程属性的探索,可由其拓扑等价的另一种方程中得到启示。又,这种转化工作,对于揭示二次系统中各种方程之间的内在联系,并非毫无意义。     

方程 dy/dx=-(2λx 1)(ax by c) α(λx~2 y~2 x 1)/2y(ax by c) β(λx~2 y~2 x 1)至多存在一个极限环

本文证明系统(dx)/(dt)=2y(ax by c) B(λx~2 y~2 x 1)(dy)/(dt)=-(2λx 1)(ax by c) α(λx~2 y~2 x 1)至多存在一个极限环,并给出存在极限环的参数λ的变化范围。