剩余寿命的若干极限性质

设非负随机变量T₁,T₂,…,T_n,…独立同分布,分布函数F为连续,而{N(t),t ≥ 0}是以T₁,T₂,…为相继到达时间而产生的更新计数过程.本文求出了当t ≥ 0,s ≥ 0时,剩余寿命γ(t)与γ(t+s)的联合分布函数以及其混合矩当t,s→∞时的极限性态.结果表明t,s→∞时,γ(t)和γ(t+s)是渐近独立的.     

关于变分学最简单问题的一个推广

记x_0为定义在一个任意给定的区间上,且在区间端点取定值的分段光滑函数全体所成之类。而L(t,x_1,x)为C_2类的三元函数。在x_0上定义泛函J如下: J=∫_a~bL(t, x,x)dt 变分学最简单的问题就是要在符合边界条件x(t_0)=x_0,x(t_1)=x_1的函数类x_e中求出x~*,使J在x~*取极小值(弱极小、强极小或绝对极小)。为方便计,以下把该问题简记为(J, L,x_0,[a,b],x_0,x_1),面称x~*为该问题的解。在这一类问题中,一般都假定[a,b]为有限闭区间,但我们在这里考虑无穷区间[α, ∞)的情形。     

关于可靠性工程中拟合概率密度的注记

本文从Sturm-Liouville方程的本征函数构成的加权正交多项式系的观点对工程上常用的用正态、Gamma、Beta密度拟合概率密度f(x)^[3,4]作统一解释.结果表明,用第一、二阶矩决定上述双参数密度的两个参数时,恰好使f(x)的关于相应的加权正交多项式系作展开时前两个广义Fourier系数为0.     

连续平方可积鞅噪音下的随机微分方程及其控制问题

考虑由下述随机泛函微分方程描述的系统: dx_1=f(t,x,u(t,x_1))da(t) σ(t,x)dM_1 (0≤t≤1) 其中M为n-维0初值连续平方可积鞅,与其相联系的增过程为非随机的。再考虑相应的损失 J(u)=E[∫_0~1 Lda(t) h(x_1)] 本文证明了在Lipschitz条件及拟线性条件下,上述泛方程(强)解的存在及唯一性;解对于初值及系数的连续依赖性;inf J(u)对初值及漂移、扩散系数的连续依赖性,并证明了当取容许控制集为u的一个足够大子集u′或u″时,最佳控制的存在性。(a(·),u,u′的意义见正文) 本文是在王寿仁教授、程极泰副教授、潘一民副教授的指导、帮助及鼓励下完成的,谨致衷心谢意。作者并诚挚地感谢汪嘉冈副教授对改进本文的宝贵意见。     

LQ问题中最佳控制律的收敛性质

线性系统二次指标最佳控制问题有着广泛的应用。由于在建立模型时存在不可避免的误差,因此按照有误差的模型求解的最佳反馈控制律与使真实物理过程损失最小的最佳控制律一般也就有差异,本文讨论了这两者间的关系,得到如下结果。对于有限区间[t_0,T]的确定性情况,如果模型误差充分小,则相应的最佳控制律与无误差时的最佳控制律在[t_0,T]上一致地任意接近。如果考虑[t_0,T]上的随机情况,并对两个连续的随机过程Z、Z定义它们之间的距离为‖Z-Z‖~2=E(sup t_0≤t≤T)|Z(t)-Z(t)|~2,那么当模型误差足够小时,相应的最佳控制律与无误差时的最佳控制律在此距离意义下也可以任意接近。最后,对于无限区间[t_0,∞)的确定性及随机定常系统也得到了类似的结果。     

极端曲线共轭点两种定义的比较

在变分学最简单问题中,极端曲线共轭点有两种不同的定义,一种是从几何概念出发,另一种则是从分析概念出发。这两个定义并不完全等价,一般说来,几何定义要求更强一些,而分析定义则弱一些,但在一定的条件下,二者仍然是等价的。引理一:设有二阶微分方程 (1)x=f(t,x,x,) 其中的f对于一切(t,x)及|x-a_0|≤a为C_1类函数。则在t_0的某个邻域内及对于|α-α_0|≤b,该方程存在合初始条件x|_(t-t_0)=x_0的解族x=x(t,α),其中参数α的意义是     

离散时间分布参数系统的一种Kalman滤波

通常在讨论离散时间分布参数系统的最佳滤波时,都假定了观测矩阵 H(k)是确定性的。本文去除了这一限制,推广到它可以是关于由观测向量(z(0),…,z(k—1))生成的σ一域可测的情形,得到了相应的滤波递推式。该式与 Kalman滤波公式是很相似的,文献中假设 H(k)为确定性时所得到的结论只是本文的特例。我们还证明了当系统动态方程中含有关于σ(z(0),…,z(k))可测的控制项F(k,x)时,该系统的最佳滤波由两部分组成,其中一部分是略去控制项后按己得到的滤波递推式计算,而另一部分不必滤波就可直接递推计算。作为一个应用,我们得到了没有控制项而动态噪声与量测噪声相关时的滤波式。     

对变分学基本引理的进一步探讨

为导出变分学理论的基石——Euler方程,变分学基本引理是极为关键的。该引理断言“设φ(t)为[t_0,t_1]上的连续函数,且对于任何合条件∫_(t0)~(t1)z(t)dt=0的连续函数z(t)均有∫_(t0)~(t1)φ(t)z(t)dt=0,则φ(t)在[t_0,t_1]上必恒取常数值”。本文从以下几个方面对此引理作进一步的探讨: 1°如果把φ(t)所属的函数类C_0进一步扩大,则引理如何? 2°如果把z(t)所属的函数类C_0进一步缩小,引理又有什么变化? 3°如果考虑无穷区间(单向或双向无穷)[t_0,∞),引理是否仍然正确?