Azumaya代数的张量积的PI－类数

证明了下述重要定理：假设Ｒ１，Ｒ２是任意交换环Ｃ上的代数，且Ｒ１，Ｒ２分别为它们的中心Ｚ１，Ｚ２上的Ａｚｕｍａｙａ代数，则有ｄｅｇ（Ｒ１ｃＲ２）＝ｄｅｇ（Ｒ１）·ｄｅｇ（Ｒ２）其中ｄｅｇ（Ｂ）为Ｒ的ＰＩ－类数．     

MPI环与正则环

利用局部化的方法讨论可换正则环，ＭＰＩ环的性质．证明了可换环Ｒ正则等价于Ｒ的每个准素理想为极大理想，也等价于每个循环Ｒ模的准素子模为极大子模．对可换环Ｒ，我们证明了以下条件等价：１）Ｒ为ＭＰＩ环，２）．．．稳定．３）ｎ＞０，ｒ∈Ｒ使ｘｎ＝ｘｎ十１ｒ，４）循环Ｒ模的素子模极大．最后还讨论了ＭＰＩ环与弱半局部环及半局部环的关系，证明了ＭＰＩ环为半局部环的充要条件是每个真理想有准素分解．     

结合环的几个交换性条件

设Ｚ（Ｒ）为环Ｒ的中心。本文证明了满足下列条件之一的环Ｒ必为交换环：（１）Ｒ是Ｋｏｅｔｈｅ半单纯环，且对任意ａ，ｂ∈Ｒ，均存在一个非负整数Ｋ－Ｋ（ａ，ｂ）及一个整系数多项式ｆｘ（ｘ，ｙ）（它的每一个单项式均含有ｓ＝ｓ（ａ，ｂ）（＞１）个ｘ和ｔ＝ｔ（ａ，ｂ）（≥Ｋ）个ｙ）使ａｂ＾ｙ－ｆｘ（ａ，ｂ）∈Ｚ（Ｒ）；（２）Ｒ是Ｂａｅｒresume     

关于P—内射环

假定Ｒ和Ｔ均是环,Ｍ是（Ｒ,Ｔ）－双模且ＭＴ是忠实的,利用双模ＲＭＴ来研究Ｔ的Ｐ－内射性,证明了如下结果：环Ｔ是右Ｐ－内射的当且仅当对于任意ｔ∈Ｔ有Ｍｔ＝（Ｍｔ）＾ｃ）＾ｓ和Ｔｔ＝（Ｍｔ：Ｍ）Ｔ;环Ｔ是左Ｐ－内射的当且仅当时于任意ｔ∈Ｔ有ｌＭ（ｔ）＝（（ｌＭ（ｔ）＾ｓ）ｃ和ｔＴ＝ｒＴｌＭ（ｔ）。     

拟环的一个根

本文对任意的拟环Ｎ定义了一个根，记作Ｒ（Ｎ）．当Ｎ为零对称，特别地，当Ｎ为环时，Ｒ（Ｎ）＝Ｎ．我们证明：Ｒ是一个Ｋｕｒｏｓｈ－Ａｍｉｔｓｕｒ根；Ｒ（Ｎ）是Ｎ的一个ｓ－素理想；若Ｉ　Ｎ，则Ｒ（Ｉ）２　Ｒ（Ｎ）∩Ｉ　Ｒ（Ｉ）以及这个根一些其它性质     

关于P-内射环

假定Ｒ和Ｔ均是环,Ｍ是（Ｒ,Ｔ）－双模且ＭＴ是忠实的,利用双模ＲＭＴ来研究Ｔ的Ｐ－内射性,证明了如下结果：环Ｔ是右Ｐ－内射的当且仅当对于任意ｔ∈Ｔ有Ｍｔ＝（（Ｍｔ）Ｃ）Ｓ和Ｔｔ＝（Ｍｔ：Ｍ）Ｔ;环Ｔ是左Ｐ－内射的当且仅当对于任意ｔ∈Ｔ有ｌＭ（ｔ）＝（（ｌＭ（ｔ））Ｓ）Ｃ和ｔＴ＝ｒＴｌＭ（ｔ）．     

环的若干交换性定理

设Ｚ（Ｒ）为环Ｒ的中心。本文证明了满足下列条件之一的环Ｒ是交换环：（Ａ１）Ｒ是半素环，且对任意ａ１，ａ２，…，ａｎ∈Ｒ，存在整系数多项式ｆ（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）及ｎ元置换σ，使得ａ１ａ２…ａｎ－ａσ（１）ａσ（２）…ａσ（ｎ）ａ１ｆ（ａ１，ａ２，…，ａｎ）∈Ｚ（Ｒ）；（Ｂ１）对任意ａ１，ａ２∈Ｒ，存在整系数多项式ｆ（ｘ１，ｘ２）及２元置换σ，使得ａ１ａ２＝ａσ（１）ａσ（２）ａ１ｆ（ａ１，ａ２）。     

Von Neumann正则环和P－V－环

本文中，我们证明了如下结果：（１）环Ｒ是强正则的当且仅当Ｒ是左Ｐ－Ｖ－环且Ｒ的每个极大左理想是拟理想；（２）环Ｒ是强正则的当且仅当Ｒ是半素的且Ｒ的主左理想的极大左次理想是Ｒ的理想，所以有效推广了Ｋａｐｌａｎｓｋｙ的如下结果：可换环Ｒ是ＶｏｎＮｅｕｍａｎｎ正则的当且仅当每一个单Ｒ－模是内射的。     

关于正则环的几点注记

环Ｒ称为左（右）ＳＦ）环，如果所有单左（右）Ｒ－模是平坦的。环Ｒ称为Ｉ－环，如果Ｒ的每个非零左理想含有非零幂等元。在本文中，我们证明了如下主要结果：（一）对于环Ｒ，如下条件是等价的：（１）Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单环；（２）Ｒ是左ＳＦ－环县Ｒ／Ｚ（ＲＲ）是Ａｒｔｉｎ单环；（３）Ｒ是左非奇异的，左ＳＦ－环县ＲＲ具有有限秩；（４）Ｒ是正交有限的Ｉ－环。（二）Ｒ是基层不为零的正则左自内射环当县仅当Ｒ是包含非奇异     

Г－环的一致强素根

本文对Г－环引入一致强素Г－环与一致强素Г－模的概念，对Г－环Ｍ定义了一致强素根τ（Ｍ），证明了Ｍ的子集Ｐ是Г－环Ｍ的一致素理想当且仅当Ｐ是某一致强素ГＭ－模Ｇ的零化子。假若Ｒ是Г－环Ｍ的右算子环，我们证明了τ（Ｍ＿（ｍ，ｎ））＝τ（Ｍ）＿（ｍ，ｎ）且若Ｒ是左ｄｕｏ环有τ（Ｒ）＊＝τ（Ｍ），此外，建立了一致强素ГＭ－模与一致强素Ｒ－模之间的关系。     

半素环的幂零导子

讨论半素环上导子的幂零性质, 利用相应的扩张技术证明了： （1） 设R是n!〖KG-*3〗-torsionfree半素环, n是自然数, Z是R的中心, δ是R上的导子, 若δⁿ(R)=0, 则δ(Z)=0; （2） 设R是特征不 为2的素环, Z是R的中心, U₁,U₂,…,U_n是R的Lie理想. 若d_{1,d2,…,dn是R的非零导子, 且［［…［d1(U1),d2(U2)］,…］,d n(Un)］Z, 则存在i∈{1,2,…,n}, 使得UiZ.}     

半质环的交换性条件

本文改进了[1]中定理1,定理2及文[2]中的一个结果,并给出半质环另外一个交换性条件.     

半素PI-环的正则元

考察半素PI-环的左、右正则元,得到如下3个方面的结果:(1)半素PI-环的左正则元一定是右正则的;(2)半素PI-环R的正则元a所生成的左理想Ra在R中是本质的,且Ra与R满足相同的多项式恒等式;(3)半素PI-环的正则元在其有1的商环中是可逆的.     

关于完全弱半素子模

本文定义了完全弱半素左理想,完全弱半素环,完全弱半素模和m′-系的概念,给出了完全弱半素子模的一些性质和如下的一些关系: (1)设K是环R的左理想,则K是完全弱半素左理想当且仅当R/K是完全弱半素环; (2)设K是左R-模M的子模,那么K是M的完全弱半素子模,当且仅当C(K)=M＼K是m′-系.     

关于Herstein猜想

本文引入环的半质函数S和关于环的子集的左零化子极限链条件,并获得如下结果:设R为环,且对于R的每一幂零元α≠0均有S(α)∈N、则R的全部幂零元形成R的Baer根;设R为CN-环,T为R的全体诣零左理想之和,K为R的kthe根,则R成立Herstein猜想当且仅当R在T-K上满足左零化子极限链条件。     

关于Chuang和Lee的一个定理

Chuang和Lee通过在半素环中构造一个可数子环的方法证明如下结果:设R是一个半素环,d为R上的一个导子,假设对于任意x∈R,存在一个依赖于x的多项式gx(t)∈Z(t),使得d(x-x2gx(x))=0.那么d(R)[R,R]=0.本短文指出:此定理完全可以通过常规的方法来证明.从而说明上面的定理作为Chuang和Lee方法的应用例子是不适合的.     

半群上广义的素同余

讨论了素同余和半素同余．证明了每个半素同余是素同余的交．推广了有关该知识的最新结果．     

半素环与 Morphic 环

本文中,我们证明了如下主要结果：（1）如果R是半素环,R又是右Morphic的,且L是R中的极大左零化子,则L是R的极大左理想,且存在e^2=e∈R使L=Re。（2）如果R是素环又是右Morphie的,且有极大左零化子,则R是左、右本原环（3）如果R是半素的右Morphic环,则R有唯一的最大理想I,I不含非零幂零元且I=lr（I）=rl（I）,Z（RI）=Z（IR）=0。     

具有Krull维数的半素环

本文讨论了半素环的闭理想性质,引进了强Kasch环的概念并给出半素环是强Kasch环的充分必要条件,最后讨论了强Kasch半素环上具有Krull维数的模的内射包络的自同态环。