几种Lebesgue积分定义的等价性

Lebesgue积分是Riemann积分的推广。在不同的Lebesgue积分理论著作中,往往以不同的方式引入Lebesgue积分定义。本文对于几种常见的Lebesgue积分定义的等价性,予以讨论。 下文中凡提到点集E和函数f(x)的可测性,均指依Leaesgue意义可测,凡提到f(x)可积,均指依Lebesgue意义可积。     

初等积分的可能性判据

部分初等函数的原函数不一定是初等函数.根据刘维尔定理导出了形如f(x)e8(x)(其中f(x),g(x)是初等函数)的函数的初等可积的一个必要条件,这个判据比刘维尔定理更为实用.     

广义超解析函数在可数条光滑闭曲线上的Riemann问题

研究了广义超解析函数在可数条光滑闭曲线集L=sum from l=f to ∞(L_l)上的Riemann边值问题,其中L_l(l=1,2.……)凝聚于有限点z_0。根据Whitney延拓定理,利用超复积分算子,建立了问题的标准函数,从而得到了边值问题一般解的表示式、向题可解的充分必要条件以及线性无关解的个数与指标间的关系。     

抽象函数列收敛于一个(B)可积函数的二个判定定理

本文推广了Bochner积分控制收敛定理,并给出了在有界可测集上抽象函数列收敛于Bochner可积函数的光要条件.     

积分中值定理的推广及其“中间点”的性质

积分中值定理中将"f(x)在[a,b]上连续"改为"f(x)在[a,b]上可积",定理的结论仍然成立.据此证明了"中间点"唯一存在的充要条件是被积函数的单调性,还可以在满足李普希兹条件下给出"中间点"的渐近性.     

一种广义二阶导数和二阶次微分

给出了Banach空间X上的实值函数f的一种广义二阶方向导数f~(00)(x;υ;ω)的定义,f~(00)(X;·;·)是X×X上的双正齐次凸泛函.在f~(00)(x;·;·)取有限值时给出了二阶次微分(?)f(x)的定义,当f~(00)(x;·;·)有界时,(?)f(x)是一个非空的有界闭凸集。当X=R~n时,(?)f(x)与Urruty的广义Hessian矩阵一致。     

凸函数的一个不等式性质的推广

本文对杨镇杭的“凸函数的又一性质”〔1〕的条件进行削弱,证明了:若f(x)为闭区间〔a,b〕上的可积的上凸或下凸函数,有不等式f(a)+f(b)/2成立;若函数f(x)于闭区间〔a,b〕上连续,f_+′(x)与f_+″(x)在开区间(a,b)内存在且连续,则当f_+″(x)≤0或f_+″(x)≥0时不等式(1)或(2)成立.     

凸函数的又一等价命题

裴礼文^[1]给出了f(x)为区间I上的凸函数的一个必要条件，该文证明当I为开区间时，其充分性亦正确。     

具有时滞的Liénard方程解的有界性

研究一类具有时滞的Liénard方程.x. f(x).x g(x(t-h))=e(t)解的有界性,其中h为非负常数,f,g是R上的连续函数,e是R 上的连续函数.利用Liapunov函数方法,获得了方程所有解有界的充要条件.     

有有界导出数的函数的一些性质

众所周知,导出数对于研究有界变差函数、全连续函数及Lebesgue不定积分都有重要作用。①本文将对导出数的初等性质作若干讨论。定义1 设f(x)是[a,b]上的有限函数。对于点x∈[a,b],若有{h_n}(h_n≠0),h_n→0(n→∞时),使得存在(可等于∞),则称此极限为f(x)于点x的一个导出数。记之为Df(x)。     

关于等度绝对连续积分与度量收敛的几个问题

本文讨论了函数列{fn(x)}的具有等度绝对连续积分与度量收敛的关系。主要得到如下结果; 1.设{f_n(x)}为可测集E上的可测函数列,则fn(x)(?)f(x)的必要条件为在E上有等度的绝对连续积分。反之,若存在某个δ∈(0,1)使当e(?)[0,1],me<δ时有则f_n(x)(?)f(x)。 2.给出了积分号下取极限的Vitali定理之逆成立的条件。     

强拟凸泛函的下半连续性

我们的兴趣在于讨论具有指数型增长速度的强拟凸泛函 I(z, G)=∫_G f(x.z(x),(?)z(x))dx,(1)的变分问题。但鉴于泛函的下半连续性结果对相应变分问题的讨论有重要作用,本文将致力于泛函(1)的下半连续性的讨论。定义:称f(x,z,p)关于P是强拟凸的[1],如果f(x,z,p)∈C~2,且对任何常向量x_0,z_0,p_0,任何有界区域G’(?)G,以及在边界(?)G’上取零边值的任何Lipschitz向量函数ξ(x)而言,满足下面的不等式:     

RL^n—2C（n≥3）型单峰周期轨道的存在性

设I=[0,1],f∈C°(I,I).研究了f中PL~(n-2)C(n≥3)型单峰周期轨道的存在性。此外,运用单峰动力学的方法较为简单地证明了定理:设fλ(x)=min{2x,1-λ(2x-1)}(■x∈I,λI).则有,(ⅰ)当0≤λ<1/2时,fλ中只有不动点而没有其他周期点;(ⅱ)当λ=1/2时,fλ中只有不动点和2-周期点,而没有其他周期点;(ⅲ)当1/2<λ≤1时,fλ中有6-周期点。     

一类有界区域上分数阶p-Laplace方程解的多重性

研究一类次临界增长的分数阶p-Laplace方程多重解的存在性。由于f(x,u)不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件,方程的能量泛函I(u)不满足Palais-Smale条件。证明I(u)满足Cerami条件,利用山路引理的一种变形形式,分别在f(x,u)满足渐近线性增长和渐近超线性增长两种情形下,得到分数阶p-Laplace方程多重解的存在性。     

三次样条函数插值误差的界

§1 引言关于三次样条插值的误差估计已有大量的成果。至今最好的结果是: 定理1 设f(x)∈C~m(I)(m=1,2,3,4),θ_sf(x)∈S_i(3,△)是f(x)关于I(=[0,1])上分划△:0=x_0相似文献   

粗糙核分数次积分算子的双权弱型不等式

对n上的粗糙核分数次积分算子TΩ,αf(x)=∫n|Ωx(-x-y|yn)-αf(y)dy证明了若权函数(u,v)满足一定的Ap条件,则TΩ,α是弱有界的,其中0αn,Ω∈Ls(Sn-1)为n上的零次齐次函数.     

B—D算子对有界变差函数的收敛速度

给出了Bernstein-Durrmeyer算子对[0,1]上的有界变差函数逼近的点态收敛速度.设f(x)∈B∨[0,1],则对任意给定的x∈(0,1),当n足够大时,有■     

半线性抛物方程差分解的长时间行为

考虑带齐次D irichlet边值条件的半线性抛物方程ut-(pux)x=f(u)的初边值问题,研究了其在[0,1]×(0,+∞)上全离散Euler隐格式解的稳定性.在适当的假设条件下证明了离散系统在H1(Ωh)空间上存在连续的Liapinov泛函,并验证了离散系统的平衡点集在H10(Ωh)上是有界集,从而得到离散动力系统在H10(Ωh)上存在整体吸引子.     

分数因子存在的两个充分条件

给定图G=(V,E),设g:V→Z,f:V→Z和h:E→[0,1]是3个函数，其中Z是整数集，如果所有x∈V，均有g(x)≤∑x∈eh(e)≤f(x)，就称Gh=(V,Eh)是G的一个分数（g,f)-因子，其中x∈e表示x与e关联，Eh={e|e∈E且h(e)≠0}。给出了图有分数（g,f)-因子的2个新的充分条件。     

含抽象积分与R积分的累次积分的交换

设(X,■,μ)是测度空间,E∈,而A■R~n,B■R~m为有界Jordan可测集,f(x,y,z)为定义在A×E×B上的泛函。本文利用抽象积分的极限定理,讨论了含抽象积分及R积分的累次积分∫_A∫_E∫_Bf(x,y,z)dxdμdz之交换问题,并得出复泛函的相应定理,大大推广了L.Lichtenstein定理。