P—内射环的几个新结果

本文中,我们证明了如下主要结果: 1 如果R是左P-内射环,R又是半素的,且L是R中的极大左零化子,那末L是R的极大左理想,且存在e=e~2∈R使L=Re。2 如果R是左P-内射素环,且有极大左零化子,那末R是左、右本原环。3 设R是左自内射环,那末R是正则环当且仅当对任意本质左理想L,R/L是左P-内射模。4 如果R是强左P-内射环,那末R/Z是正则环。     

关于非奇异环

在[1]中已经证明:可换环 R 是非奇异的当且仅当 R 是半素的。我们的结果是定理1 设 R 是零因子可换环,那末 R 是非奇异的当且仅当 R 是半素的。在[2]中已经证明:满足右零化子升链条件的半素环 R 是非奇异的。我们结果是定理2 如果 R 是满足 singR 中的特殊右零化子升链条件的半素环,那末 R 是非奇异的。通过利用严格素右理想的概念,我们还得到定理3 如果{0}是环 R 的严格素右理想,那末 R 是非奇异的。定理4 如果有环 R 的严格素右理想 K 使得 K~∧={0},那末 R 是非奇异的。所有这些结果对于研究半素环与非奇异环之间的关系是有用的。     

模和环的smal-内射性的一些研究

研究了small-内射模和small-内射环的性质,证明了若R是约化的左small-内射环,记S=eRe,e~2=e∈R,则S是约化的左JP-内射环.用单奇异左(右)R-模的small-内射性刻画了半本原环,证明了R是半本原环当且仅当任意单奇异左(右)R-模是small-内射的.得到了在R是半局部环的条件下,以下叙述等价:(1)R是半单环;(2)R是正则环;(3)任意单奇异左(右)R-模是small-内射的;(4)R是半本原环.通过对环的极大左(右)零化子的研究,分别得出了若0≠a∈R,l(a)是R的极大左零化子,则l(a)=l(a~2);若0≠a∈R,r(a)是极大右零化子,则对任意0≠at∈R,有l(a)=l(at),并证得了若R是左small-内射环,且对0≠a∈J,l(a)(r(a))是R的极大左(右)零化子,则a是非零幂零元.     

每个奇异单模是P-内射的环

证明了如下主要结果：⑴如果R是左P-内射的，在P-V‘-环，则R是右（左）非奇异的；⑵如果R是左AP-内射的，在P-V‘-环，则R是半本原环；⑶如果R是左P-V‘-环，那么Z（RR)∩J（R）=0；⑷如果R是左P-V‘-环且R满足特殊左零化子的降链条件，则R是左非奇异的，这些结果是P-V-环的相关结果的改进与推广，它们对于进一步研究P-V-环及其推广是很有用的。     

WGP-内射环及其应用

考虑WGP-内射环的极大零化子的性质,证明了若一个左WGP-内射环R满足对任意无限个元素a_1,a_2,a_3,…,均有左零化子构成的升链l(a_1)■l(a_1a_2)■l(a_1a_2a_3)■…是稳定的,则:R是半准素环;R是左、右完全环;R是左、右Kasch环.并给出WGP-内射环的一些充要条件.     

带有恩格尔条件的广义导子

令R是非交换的素环,I是环R的非零右理想,g是R的广义导子,满足[g（rk）,rk]n ＝0, r∈I,k,n是固定的正整数,则存在c∈U,U是环R的右Utumi商环,对适当的α∈C,满足g（ x）＝cx,且（c －α）I ＝0,特别地,有g（x）＝xα,x∈I．     

左极小Abel环

证明了如下结果：①设R为左极小Abel环,e^2=e∈R满足ReR=R,则角环eRe也是左极小Abel环;②设I是R的不含幂等元的理想,且R/I是左极小Abel环,则R为左极小Abel环;③ R为左极小Abel环←→投射单左R-模的零化子是极大左理想.     

带有恩格尔条件的广义导子

令R是非交换的素环,I是环R的非零右理想,g是R的广义导子,满足[g(rk),rk]n=0,r∈I,k,n是固定的正整数,则存在c∈U,U是环R的右Utumi商环,对适当的α∈C,满足g(x)=cx,且(c-α)I=0,特别地,有g(x)=xα,x∈I.     

关于素环的导子

讨论了素环理想上导子的性质.设R是6-扭自由的素环,I是R的非零理想,Z是环R的中心.若存在非零导子d,满足对任意的x∈I均有[x,d(x2)]∈Z或对任意的x∈I均有x2.d(x)∈Z且Z∩I≠{0},则环R为x交换环.     

两类特殊的三阶矩阵环的Morphic性质

研究了两类特殊三阶矩阵环的左Morphic性质.具体地,设R是环,令L（R）=a11 0 0a21 a22 a230 0 a33｜a11,a21,a22,a23,a33∈R和O（R）=a 0 0a21 a a230 0a｜a,a21,a23∈R.证得：（1）L（R）和O（R）都不是左Morphic的;（2）当R是唯一Morphic环且R∝R是左Morphic的,O（R）中主对角线为非零元的元素是左Morphic元.     

构造G-morphic环

若环R中的每个元a都满足R/Ran≌l(an),其中l(an)是an在R中左零化子,则环R叫做左G-morphic环.C是环D的子环,且R[D,C]={(d1,…,dt,c,c,…)|di∈D,c∈C,t≥1};本文主要给出了R[D,C]是左G-morphic环的一个充要条件;还给出了左[D,C]G-morphic元的定义和它的一些性质.     

关于Morphic环的推广

文中主要给出了YJ-morphic环的定义.说明了以下主要结果:每一个左YJ-morphic环是右YJ-内射环;每一个右YJ-morphic的Bear环是右YJ-pp环;若R是左YJ-morphic环,则J(R)=Z(RR),Soc(RR)(∈)Soc(RR).     

关于单奇异YJ-内射模与正则环的刻画

通过拟理想对环的正则性进行刻画,证明了：（1）环R是强正则环当且仅当R是Abelian的左GP—y’－环,且R的每个极大本质左理想是拟理想;（2）若环R的每个极大本质左理想是拟理想,则R是正则环当且仅当R是左AGP－内射的左GP—V’－环。     

Morphic环的一些研究

主要刻画了在一定条件下的morphic环与其他一些环的关系,证明了如下的主要结果:1.若R是左拟duo环,且R是GP-V-环,则R是morphic环.2.若R是GP-V-环,则以下等价:(1)R是强正则环(2)R是约化的morphic环(3)R是半交换的morphic环(4)R是2-素的morphic环.     

关于正则环的几点注记

环Ｒ称为左（右）ＳＦ）环，如果所有单左（右）Ｒ－模是平坦的。环Ｒ称为Ｉ－环，如果Ｒ的每个非零左理想含有非零幂等元。在本文中，我们证明了如下主要结果：（一）对于环Ｒ，如下条件是等价的：（１）Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单环；（２）Ｒ是左ＳＦ－环县Ｒ／Ｚ（ＲＲ）是Ａｒｔｉｎ单环；（３）Ｒ是左非奇异的，左ＳＦ－环县ＲＲ具有有限秩；（４）Ｒ是正交有限的Ｉ－环。（二）Ｒ是基层不为零的正则左自内射环当县仅当Ｒ是包含非奇异     

关于广义morphic环和伪morphic环的注记

R称为左广义morphic环,若对每个a∈R,存在b,c∈R使得l(a)=Rb,l(b)=Rc。R称为左伪morphic环,若对任意的a∈R,存在b,c∈R使得Ra=l(b),Rb=l(c),其中l(a),l(b),l(c)表示R中元素a,b,c的左零化子。本文主要研究广义morphic环和伪morphic环的部分性质,通过例子说明某些结论的逆命题不成立。反例,设R是环,n≥0,R[x]/(xn+1)是左广义morphic环,则R是左广义morphic环,反之不成立。     

P-内射的WB-环

研究了满足一定条件的P-内射环为WB-环的等价刻画.证明了如果R是非奇异的P-内射环,那么R只要满足条件之一:(a)R满足特殊左零化子的升链条件;(b)R不包含由有限非零主左理想构成的直和项;(c)R是CF环;(d)R是Goldie环.有如下等价:(1)R是WB-环;(2)对任何a∈R,有正交理想I,J,使得a=aua=ava,这里u∈R,模I右可逆,v∈R模J左可逆;(3)对任何a∈R,有正交理想I,J和幂等元e∈R,使得a=eu=ev,这里u∈R模I右可逆,v∈R模J左可逆;(4)如果ab,a,b∈R,则有正交理想I,J,使得au=ub,av=vb,其中u∈R模I右可逆,v∈R模J左可逆.     

ZC—环与Von Neumann正则环

本文将已有的一些可换环的结论推广到一类非可换环上去,同时还改进了某些结论,得到了如下主要结果: 设A是零因子可换环,那么以下条件等价: (1)A是正则环; (2)A是V-环且A的每个极大本质左理想是双边; (3)每个单奇异A-模是P-内射的,且A的每个极大本质左理想是双边的; (4)A的每个极大本质左理想是P-内射的; (5)A的每个本质左零化子是P-内射的; (6)存在忠实左A-模C使当d∈C且l(d)是本质的时,l(d)是P-内射的; (7)A中每个主左理想是平坦左零化子, (8)A包含极大左理想五使当k∈K且,l(K)是本质的时,l(k)是P-内射的。     

关于强素子模

本文定义了强素理想,强素子模及环的 m*-系和模的m*-系,且给出了它们之间的两个等价关系:(1)设L是环R的理想,那么L是R的强素左理想当且仅当C(L)=R-L是m*-系;(2)设K是左R-模M的子模,那么K是M的强素子模当且仅当C(K)=M-K是m*-系.