小波分析理论下无网格偏微分方程数值解方法

针对传统偏微分方程数值解方法求解精度和效率不高的问题,在小波分析理论下,提出无网格偏微分方程数值解方法。首先利用拟Shannon小波配点法,获取常微分方程组,然后利用插值问题替代离散偏微分方程,逼近该偏微分方程组精确解。在此基础上,通过基函数空间求解偏微分方程的方法定义为无网格偏微分方程数值解方法,考虑加权的最小二乘法可确定较为集中的点,致使偏微分方程与边界条件在确定较为集中的点上成立。以较典型的Convection Diffusion方程为例,在不同参数值设置条件下进行两次算例验证,实验结果表明,该所得的逼近解均较为接近精确解,可提升偏微分方程数值求解精度。     

一类热传导方程逆时反问题的数值解法

讨论一类热传导方程逆时反问题(BHCP)的数值解法.中心差分法的思想是基于对原问题只进行空间离散,转化为一个不适定的常微分方程组的初值问题,然后利用变量变换把该问题转化为一个适定的常微分方程组的初值问题,最后利用Runge-Kutta方法进行数值求解.数值结果说明了数值解与精确解吻合良好.     

几何约束下磁畴壁模型的相变数值解

通过研究带几何约束的磁畴壁模型的数值解,观察了磁畴壁的总能量达到极小值时的物理状态.用梯度流法把求能量极小值问题转化为求解偏微分方程的初边值问题,利用有限差分法对该微分方程进行离散得到相应的差分格式,然后对得到的差分格式分别进行局部截断误差分析和稳定性分析.最后给出数值算例,数值结果表明:本文给出的差分格式对于求解能量极小值问题的方程是切实可行的.     

Cauchy微分方程的一种新的数值解法

众所周知，求解微分方程（组）常用的数值方法有有限差分法，有限元素法等，这些方法都是将微分方程（组）分离散化后求解．若将网格划分得粗了，则求解精度不高，不能满足工程实际需要，若将网格划分得细了，则所需计算机内存量和计算量都太大．为解决上述问题，本文给出微分方程（组）的解的概率表达式的一种新的数值解法──概率数值解法．     

用样条4方法求解偏微分方程

为了便于求偏微分方程的高精度样条近似解.本文把“样条4” (Spline 4)2×2矩阵系统的求解过程转换为求解仅包含在节点上的二阶导数值的五对角线方程组,并仍保持在非均匀网格中具有三阶精度,在均匀网格中为四阶精度。作为数值解例,计算了—维非线性 Burgers 方程和二维扩散方程,并与有限差分解及精确解作了比较.数值结果是令人满意的.     

泊松方程非等间距有限差分的数值求解方法

采用3阶精度中心差分格式对Dirichlet边界条件下的二维泊松方程进行离散,近边界网格点处采用2阶精度差分格式进行离散,利用超松弛迭代进行矩阵求解.数值计算结果表明,该有限差分方法具有收敛速度快、精度高的特点,可推广应用于非等间距网格下其他类型偏微分方程的数值求解.     

利用Monte Carlo方法求解线性抛物型问题(英文)

提出一种一维线性抛物型偏微分方程的温度分布函数的数值解法,数值算法是基于在空间和时间上采用紧有限差分法(CFD)得到离散化的控制方程进而利用Monte Carlo(MC)随机模拟方法求解所得的方程.通过比较由CFD方法和有限差分法(FD)得到的数值解与精确解的误差的计算结果说明了所提方法的效率和精度.     

有限体积法实现变系数椭圆型方程数值解

研究了变系数椭圆型偏微分方程的有限体积法,该方法将研究区域划分为一系列不重复的分割区域,并且每个网格点都包含在一个分割区域,再用待求的偏微分方程对每个分割区域进行积分,便可得到一组离散方程。基于这些离散方程,采用matlab编程达到数值实现的目的。最后,通过数值实例展示了有限体积法的计算精度,并得出了一些普遍且有益的结论。     

Cauchy微分方程的一种新的数值解法

众所周知，求解微分方程常用的数值值方法有有限差分法，有限元素法等，这些方法都是将微分方程（组）分离散化后求解。若将网格划分得粗了，则求解精度不高，不能满足工程实际需要，若将网格划分得细了，则所需计算机内存量和计算量都太大。     

一类线性方程组奇异边值问题的谱配置方法

对常微分方程组奇异边值问题进行了正则化处理,利用Legendre-Gauss-Lobatto节点为配置点,用Legendre谱配置法求其数值解,逼近方程组的正确解。数值例子说明求解该类问题的具体方法和步骤。数值实验结果证明了所提算法格式的有效性和高精度。     

超定方程组约化的一种方法

讨论偏微分方程组的约化问题,提出了规范型及约化方法,对规范型给出形式级数解的求法及求有限阶Ｔａｙｌｏｒ展式的算法。这些算法有助于克服数值求解大型约束方程组中遇到的某些困难。用于处理各种对称的确定方程组,可获得非线性微分方程的某些精确解。     

N体问题共线解的简明数值方法

研究N体问题共线解的数值方法.依照动力学和运动学原理,建立N体问题共线解所满足的条件方程,把解微分方程组的问题转化为解非线性方程组的问题.当质量已知时,对条件方程组进行Taylor级数展开,使非线性方程组转化为线性方程组,然后用牛顿迭代法解此方程组从而获得共线解.如果给定N体问题共线解中各质点之间的距离,那么问题就变成求解满足这组给定轨道的质点的质量问题,此时的条件方程就是线性方程组,解此线性方程组就可以得到答案.     

Burgers方程的高精度多步显式格式

为提高Burgers方程的数值计算精度和效率，提出了一种新的高精度多步显式格式．在空间坐标上按差分法离散，在时间方向上将差分改为积分，应用显式指数时程差分法构造出了不同精度的计算格式．对不同初边值Burgers方程进行了数值模拟，并与显式交替分组法、交替Crank-Nicolson并行算法和小波法等算法进行了比较．结果表明，当新方法的网格比是参考算法网格比的2．5～20倍时，新方法数值解的绝对误差仍然小于参考算法数值解的绝对误差．该方法为数值求解非线性偏微分方程提供了一族不同精度计算格式，扩大了指数时程差分法的应用领域．     

Bernstein多项式求一类变分数阶微分方程数值解

为求变分数阶微分方程的数值解,应用Bernstein多项式求解一类线性、非线性变分数阶微分方程.结合Bernstein多项式,求得3种不同类型的微分算子矩阵.通过微分算子矩阵,将原方程转化一系列矩阵的乘积.最后离散变量,将矩阵的乘积转化为该线性或者非线性方程组,通过求解方程组,从而得到数值解.数值算例验证了本方法的高度可行性和准确性.     

具有两种修复方法的可修复系统解研究

将半离散算法应用到具有两种修复方法的可修复系统模型中,在[0,x_0]上对其修复率进行离散,得到了该系统的半离散化模型.进一步利用泛函分析中算子半群理论将半离散后的偏微分方程转化为抽象Cauchy问题,即转化为矩阵常微分方程组;再根据Trotter逼近定理证明了矩阵常微分方程组的解收敛于原方程的解.最后在故障率和修复率均为常数的前提下,利用Matlab对该系统的稳定性和可靠性等进行了数值试验并得到了该模型的数值解,同时给出了相应的图形趋势.结果表明,对具有两种修复方法的可修复系统模型进行半离散化研究,既可以为利用计算机进一步进行数值计算打下理论基础,又有助于研究和分析系统的可靠性.     

一类导热型微分方程的数值求解方法及其比较

针对一维、稳态且含内热源的导热型微分方程,分别采用区域离散方法A和B划分网格,且每种网格划分方法中又分别采用Taylor展开法和控制容积平衡法进行数值求解。计算结果表明,虽然Taylor展开法中右端点离散方程采用二阶截差展开时数值求解精度较高,但离散方程推导过程复杂,尤其在计算节点间距不等的情况下更是如此;控制容积平衡法物理意义明晰,数值求解精度高,无论对于区域离散方法A或B,其离散方程推导过程均简单明了。     

Lubich的数值计算

给出一种求一类线性偏积分微分方程ut(x,t)-∫0tβ(t-s)uxx(x,s)ds=f(x,t)数值解的方法,空间x方向采用孙志忠教授在文献[3]中的六点隐格式离散,时间t方向采用Lubich的拉普拉斯变换数值逆,得出数值解的精度较高,计算也比较简便。     

基于MQ拟插值的Burgers-Fisher方程数值解法

文章利用MQ拟插值构造了求解Burgers-Fisher方程的无网格数值方法。在时间方向,用向前差分法对方程进行离散;在空间方向,用MQ拟插值及其导数逼近函数本身及其空间导数。该方法的特点是操作简单,不用求解大型的方程组,稳定性好。最后,将该方法与精确解的误差和其他方法与精确解的误差进行了比较,结果显示MQ拟插值方法求解此类方程表现更好。     

一种用曲线坐标求边值问题数值解的方法

给出了一种用曲线坐标求角椭圆型偏微分方程自由边值问题的数值解法；该方法通过引入两个辅助问题，它们构成一个曲线坐标系。在这个坐标系下，原问题化为和左形域上的方程组的固定问题，后者容易用差分法求解，其优点是简单省时，给出三个实际算例。     

Sobolev方程的半有限元方法

对Sobolev方程采用半有限元法进行数值模拟.通过将空间变量和时间变量分离,得到Sobolev方程的离散格式.首先对空间变量应用有限元方法进行离散化,得到常微分方程组的初值问题;再对时间变量应用有限差分法进行离散化,得到一系列线性方程组,求解可得到Sobolev方程的数值解.本文从理论上推导出了本文所讨论的Sobolev方程半有限元算法的矩阵算法格式,分析了其可行性.在最后给出了数值例子,从数值例子中进一步验证了半有限元方法的可行性.