简单图(p≤6)的伴随多项式

根据伴随多项式的基本性质，本文求出了顶点不大于6的简单图的伴随多项式。     

H（r,s）的补图色性

设Pr和Ps分别是两条具有r和s个顶点的路,用K3连接Pr和Ps的两个起点所得到的图,记作H（r,s）。h(G,x）是图G的伴随多项式。作者证明了,如果Pr-1,Ps-1和H（r,s）是不可约的,并且r和s是偶数（r,s≥4）。则H(r,s)的补图是色唯一的。同时还给出了计算伴随多项式的基本公式。     

色等价图的构造方法

图的伴随多项式是图的色多项式的一种代数变形.主要从补图的角度出发,利用图的伴随多项式的代数性质构造色等价图,并规律性地给出了一些可行的构造方法,从而推广了前期的一些相关结果.     

完全t部图K(n-k,n-2,n,…,n)的色唯一性

文章介绍了完全t部图K(n-k,n-2,n,…,n)的色唯一性,设P(G,λ)是图G的色多项式,若对于任意与图G的色多项式相等(P(G,λ)=P(H,λ))的图H都与图G同构(G≌H),则称图G是色唯一图,通过比较t部图的t+1色类的划分数和三角形子图的个数证明,如果n>[(k+1)2/4]+1,并且k>2,则完全t部图K(n-k,n-2,n,…,n)是色唯一图。     

完全三部图K(n-k,n-v,n)的色唯一性

设P(G,λ)是图G的色多项式,如果任意与图G的色多项式相等(P(G,λ)=P(H,λ))的图H都与图G同构(GH),则称图G是色唯一图.文献[Lau G C,Peng Y H.Chromatic uniqueness ofcertain complete tripartite graphs.Acta Mathematica Sinica,English Series,2011,27(5):919-926]中提出一个猜想(若k≥v≥2,n≥k2/4+v+1,则完全三部图K(n-k,n-v,n)是色唯一的),并证明了若2≤v≤4,k≥v≥2,n≥k2/4+v+1,则K(n-k,n-v,n)是色唯一的.通过比较三角形子图和无弦四边形子图的个数,证明了若v≥4,k≥2v2+4,n≥(k+2)2/8+3,则K(n-k,n-v,n)是色唯一图。     

两类图的伴随多项式

本文运用伴随多项式的递归公式,求出了两类图的伴随多项式。     

几类G=（p,p＋1）且R（G）=—2图簇的补图的色性

本文利用图Ｇ的伴随多项式的最小根的性质,讨论了几类ｎ个点ｎ＋１条边且Ｒ（Ｇ）＝－２不可约图的补图的色性。     

一类图簇的Hamilton图的研究

通过研究图的伴随多项式的因式分解,得到了若干构造性的Hamilton图簇.     

图的伴随多项式最小根性质的应用

本文用图的伴随多项式最小根的性质，给出了关于图的伴随唯一性的两个已知重要结果的简化证明。     

三类连通图的伴随唯一性

在寻找色唯一图中,使用图的伴随多项式而不使用色多项式可以得到某些结果·表示n点n+2边连通图中伴随多项式的第三个系数达到其最大值且第四个系数达到其最小值的三类图组成的图族,本文给出这三类图伴随唯一,从而它们的补图色唯一的充分条件·     

关于团和独立集的一类极值问题

图G称为一个(m, k, l; n)图,如果图中的每个顶点既被包含在一个(m+1)个点的团中,又被包含在(n+1)个点的独立集中,并且图中含有至少l个不同的(m+k+1)团。文中讨论了(m, k , l; n)图,通过其阶数p,给出了(m, k, l; n)图存在的充要条件,从而得到所能取得的最小阶数。     

一些扫帚图的Ramsey数

给定图G,Ramsey数R(G)是最小的正整数N,满足对完全图K_N的边任意红蓝着色,则或者存在红色子图G或者存在蓝色子图G.扫帚图B_(k,m)是将星图K_(1,k)的中心点与路Pm的一个端点黏成一个点得到的树图.由此得到,当k为大于1的正整数时,R(B_(k,2k-1))=4k-2且R(B_(k,4))=2k+3.     

非连通图(P1∨Pn)∪Gr和(P1∨Pn)∪(P3∨r)及Wn∪St(m)的优美性

讨论非连通图((P₁∨P_n)∪G_r和(P₁∨P_n)∪(P₃∨_r)及W_n∪St(m)的优美性, 证明了如下结论： 设n,m为任意正整数, s=［n/2］, r=s-1, G_r是任意具有r条边的优美图, 则当n≥4时, 非连通图((P₁∨P_n)∪G_r和(P₁∨P_n)∪(P₃∨_r)是优美图； 当n≥3, m≥s时, 非连通图W_n∪St(m)是优美图. 其中, P_n是n个顶点的路, K_n是n个顶点的完全图, n是K_n的补图, G₁∨G₂是图G₁与G₂的联图, W_n是n+1个顶点的轮图, St(m)是m+1个顶点的星形树.     

2类与4-圈有关图的优美性

把顺序有一个公共点的n个4圈的并图记作Fn,4;图Fn,4每个4圈的顶点ui1与ui2之间连接m条长为2的路ui1vijui2(i,j=1,2,…,n)得到的图记为m-Fn,4;将孤立顶点w与m-Fn,4的每个顶点连接一条边得到的图记为G,将图G的顶点w加n(m+1)条悬挂边所得到的图记为m-Fn,4+En(m+1).用构造的方法给出图m-Fn,4和m-Fn,4+En(m+1)的优美标号,并证明了m-Fn,4和m-Fn,4+En(m+1)都是优美图.     

Syntheses, crystal structure and magnetic properties of Rm+nCo5m+3nB2n

The phase relations at the 600℃ and 700℃ isothermal sections of the ternary systems R-Co-B for R= Nd, Pr and R = Sm, Gd respectively were summarized in this paper. For Rm+ n Co5m+3n B2n, two new types ofcompounds R3Co13B2(R=Pr, Nd, Sm, Gd, Dy, Ho, Er, Y) (m=2, n=1) andR5Co19B6(R=Pr, Nd) (m=2,n = 3 ) were synthesized by utilizing the principle of structural combination. Their crystalstructures and easymagnetization direction were determined by X-ray powder diffraction, and structures were refined by the Rietveldmethod. The Curie temperature Tc, saturation magnetization M8 and anisotropic field HA of the new compounds weremeasured using a vibrating-sample magnetometer, an extraction sample magnetometer and M(H) - H curves of samplesin different magnetization directions respectively. The Tc and Ms of Rm + n Co5 m + 3 n B2n increase with increasing values of mat a given n value. HA increases with an increase in n when m is kept invariable. The effects of the substitution of Ni for Co on the magnetic properties of Nd13 Co15- x Nix B2 were also investigated. It was found that TsR decreased monotonously as the concentration of Ni increased, and at x = 3 the easy magnetization direction becomes axial at room temperature. The relations between crystal structure and magnetic properties of Rm + nCo5m+ 3nB2n and the possible routes of synthesizing permanent magnetic materials are also discussed.     

非连通图Wmk∪G的优美性

文章证明了对任意自然数n≥1,p≥1,k≥1,当m1=2p+3或2p+4时,图W(k)m1∪Kn,p为优美图,其中Wm1(k)为由k个轮Wmi(i=1,2,…,k)的中心顶点合并后构成的连通图;当m1≥3,n≥[m1/2]时,非连通图Wm1(k)∪St(n)为优美图;对任意自然数p≥1,图W2p+2+i(k)∪Gip为优美图,其中,Gpi表示p条边的i-优美图(i=1,2);对任意自然数n≥1,当m1=2n+5时,图Wm1(k)∪(C3∨■)为优美图。     

图的子图中(n,r)-正交因子分解

设图G的顶点集为V(G)，边集为E(G)，g和f是定义在V(G)上的2个整值函数，满足对于一切x∈V(G)，g(x)≤f(x).若G是一个(mg+rn，mf-rn)-图，1≤n＜m，r≥2，且对于x∈V(G)，有g(x)≥k≥1，则存在G的一个子图G′，使得G′具有一个(f，g)-因子(n，r)-正交于G的任意给定子图H，其中｜E(H)｜=nk.     

双星图的Ramsey数的上界

对给定的两个图G和H,Ramsey数R(G,H)是最小的正整数N,使得对完全图KN的边任意红/蓝着色,则或者存在红色子图G,或者存在蓝色子图H.双星B(m,n)为直径是3,有两个中心顶点,其顶点度分别为m+1和n+1的树.得到,当nm时,R(B(m,n))2n+m+2;当n=m或n=m+1时,R(B(m,n))=2 m+n+2.     

完全偶图的定向图

完全偶图是具有二分类（X,Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y的每个顶点相连，若｜X｜=m,｜Y｜=n，则这样的图记为K_m,n。本文主要研究了Kn,n的定向图。证明了如下结论：对于非负整数a和b，若存在满足每个顶点的入度是a或者是b的一个Kn,n的定向图，则存在非负整数s和t满足方程s+t=2n和as+bt=n2。进一步，对于满足特定条件的非负整数a，b和n，存在K_n,n的定向图使得每个顶点的入度非a即b。     

几类并图的优美标号

 对非连通并图的优美性进行了研究,给出了几类非连通的并图,得出了如下结果：对任意的正整数n,m,设s是不超过n/2的最大整数,P_n是n个顶点的路,St(m)是m+1个顶点的星形树,路P₂的补图与路P_n的联图记为A_n,则当n≥2时,A_2n与任意一个具有n-1条边的优美图的并图是一个优美图;当n≥5,m≥s+2时,A_n与星形树St(m)的并图是一个优美图,从而A_n与星形树St(n)的并图是一个优美图;当n≥5时,A_n与任意一条路P_n的并图是一个(n－s)-优美图。