广义Mersenne数中的奇完全数

设p是奇素数,a和b是适合a>b,gcd(a,b)=1的正整数.设f(a,b,p)=(ap-bp)/(a-b).运用初等数论方法证明了当log a≤max(7log p,(2p-1-1)log p)时,f(a,b,p)不是奇完全数.     

关于方程σ（n）=kn，k≥2解的讨论

本文对方程σ(n)=kn,k≥2解的各种情形进行了理论分析,其中σ(n)=∑d|nd.首先证明上述方程不存在形如n=pa,或者p1p2…ps＞6(其中p是素数,a≥1,pi为互异素数,i=1,2,…,s)的解,并进一步给出上述方程所存在解的具体形式,最后我们利用计算机在区间[4,108]上直接对此方程的解进行搜索,得以13个解,它们完全符合我们的理论分析.     

广义Mersenne数f(a,b,p)一点注记

定义正整数f(a,b,p)=ap-bp/a-b为广义Mersenne数f(a,b,p),其中p是奇素数,a,b是满足a＞b,且(a,b)=1的正整数.证明了广义Mersenne数f(a,b,p)不与任一正整数构成亲和数对的结论.     

几类奇完全数的不存在性

讨论了奇完全数的欧拉因子和非欧拉因子的性质,给出了几类正整数不是奇完全数的条件,并对形如n=πα32β0s∏i=1qi2βi的奇完全数的欧拉因子的大小作了估计.     

一类数论函数的迭代性质研究

首先对自然数引进了按照各位数字进行划分的分类方法,进而讨论了一类数论函数在这种分类方法之下的若干性质.研究了广义H-数高度以及与之相关的一些问题.在基底为2的情况下,各个高度的最小数恰好由数列M1=1,Mn+1=2Mn-1,n 1组成;高度为2的数的密度是零.在一般基底之下,给出计算各个高度的最小数的算法.     

完全数简介

本文介绍了完全数的概念,发现历史,列举了在完全数领域内用简单易懂的方法还不能解决的一些主要问题。此外,我们还简要地介绍了梅审数、完全数与梅审数的关系、多重完全数及其他一些相关概念和公式。     

有关奇亏完全数的一些刻画

为探讨具有5个相异素因数的奇亏完全数的存在性问题,通过奇亏完全数的定义以及初等方法研究了具有5个相异素因数的奇正整数n是否是奇亏完全数的问题,给出3类具有5个相异素因数的奇正整数n不是奇亏完全数的几个结论.     

关于完全数的一点注记

如果正整数n适合σ(n)=2n,则称n为完全数.奇完全数的存在性问题是一个著名的数论难题,本文给出奇完全数的几个结论,由此推出Fermat数及形如6 m+5的正整数都不是完全数.     

广义Mersenne数的素因数

设a是大于1的正数，P是奇素数，M（a，P）=（a^p-1）／（a-1）．证明了：当q=2p＋1是素数时，如果（a／q）=1且a恒不等于1（mod q），其中（a／q）是Legendre符号，则q必为M（0，P）的素因数．     

有关Fermat数的一个问题

研究了在等式 σ(Fn) =σ(x) =Fn+[ax]中正整数 x的存在性 ,并讨论了 a的范围 ,此处 Fn 是 Fer-mat数 ,σ(n)表示正整数 n所有因子之和     

关于e-完全数

文章证明了：当k≥3时，k-幂数都不是e-完全数．     

有关偶完全数尾数的结论

通过对偶完全数n=2p-1(2p-1)的素指数p的取值情况的讨论,并调用、执行中国剩余定理的C语言程序,给出了其有关百位数字的结论,强化了其一些性质.     

广义Mersenne数的素因数

设a是大于1的正整数,p是奇素数,M(a,p)=(ap-1)/(a-1).该文证明了:当q=2p 1是素数时,如果(a/q)=1且a 1(modq),其中(a/q)是Legendre符号,则q必为M(a,p)的素因数.     

一类正整数是否为孤立数研究

设σ( n )是正整数n的所有正约数之和。如果正整数n,m满足σ( n )=σ( m )= m +n,则( m,n)被称为一对相亲数。相反地,对于给定的正整数n,若不存在任何正整数m满足σ(n)=σ(m)= m+n,则称n为一个孤立数。讨论了正整数Sn =12(92n +1)是否为孤立数的问题,证明了其是孤立数的结论,其中n是任意的正整数。     

关于广义Mersenne 数的素因数

设p是奇素数, a 是大于1的正整数,又设 X ( a, p ) = ( a^p- 1) / ( a- 1) , Y( a, p ) = ( a^p+ 1) / ( a+ 1) ,当 q= 2p+1 是素数时,如果( a/ q )= 1且 qa- 1,则 q 必为X( a, p )的素因数; 如果( a/ q )= - 1 且 qa + 1, 则 q 必为 Y( a, p )的素因数,其中( a/ q)是 Legendre 符号.     

关于无平方因子的调和数

设n是正整数．如果n的所有约数的调和平均为整数，则称n是调和数．本文证明了：当n无平方因子时，n不是调和数．     

孪生素数问题与 Goldbach 问题的解

本文分别导出了寻找孪生素数和Ｇ氏素数的有效方法，并给出了所述两个问题的证明。     

奇完全数的倒数和的一个注记

关于奇完全数的存在性问题是一个著名的数论难题,迄今远未解决.在奇完全数存在的条件下,研究了下界为10500的全部奇完全数n(其中ω(n)≥12,ω(n)是n的互异素因子个数)的倒数所组成的级数,给出了其和的一个上界.