尖点形式L函数的零点密度估计(Ⅱ)

设k为一正偶数,T是充分大的正数,s=σ+it,3≤Q=T,q为一正整数,χ是模q的特征,f(z)=∞∑n=1a(n)e2πinz为Γ=SL2(z)的权为k的全纯尖点形式.设Nf(σ0,T,χ)表示函数Lf(s,χ)=∞∑n=1χ(n)a(n)n-s在带形区域k/2+(l/(log(Q2T))≤σ0≤σ≤((k+1)/2),|t|≤T内的零点个数.当k/2+1/3≤σ0≤((k+1)/2)时,由Dirichlet多项式理论得出了∑q≤Q∑χmodqNf(σ0,T,χ)的一个上界.     

关于Makowski-Schinzel的一个猜想

设ψ(n),σ(n)分别是正整数n的Euler函数与约数和函数.证明了,如果n存在素因子p,使p2| n,则ψ(σ(n))/n＞-1/2,从而完全解决了Makowski-Schinzel的一个猜想.     

尖点形式L函数的零点密度估计

设K为一正偶数,T是充分大的正数,s=σ it,3≤Q＜＜T,q为一正整数,X是模q的特征,f(z)=∞∑n(max)1a(n)e2(xinz)为Γ=SL2(z)的权为忌的全纯尖点形式.设Nf(σ0,T,X)表示函数Lf(s,X)=∞∑n(max)1X(n)a(n)n-s在带形区域k/2 1/log(Q2T)≤σ0≤σ≤(k 1)/2,(t)≤T内的零点个数,由Dirichlet多项式理论得出∑(q≤Q)∑(Xmodq)*Nf(σ0,T,X)的一个世界,这里∑(Xmodq)*表示对q的全体原特征求和.     

关于2~r-完全数

对于任意正整数a,令σ(a)表示a的所有因子之和.设n是一个固定的正整数,称正整数x是n-完全数,如果它满足σ(x)+σ(nx)=2(n+1)x.运用σ(a)的一些性质讨论了2~r-完全数的存在性,其中r是固定的正整数,证明了x是2~r-完全数当且仅当x=2~s(2~(r+s)+2~s-1),其中s是正整数,2~(r+s)+2~s-1是一个奇素数.     

关于Diophantine方程x~(d(n))+y~(φ(n))=z~(σ(n))

对于正整数n=2tpa11pa22…pakk,这里pi是奇素数,mi是正整数,i=1,2,…,k,2p1p2…pk,t是非负整数.设d(n),φ(n),σ(n)分别表示n的约数函数,Eu ler函数和约数和函数.给出了:n=2和3时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)正整数解的一般公式;并证明了ai(i=1,2,…,k)中至少有两个为奇数或存在i及奇素数p,使pi≡1(modp)且ai≡-1(modp)两种情形时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)没有正整数解.     

关于Nicol数的两个问题

对于正整数n,设φ(n)和σ(n)分别是n的Euler数和约数之和,当n︱φ(n)+σ(n)时,n称为Nicol数.运用初等方法讨论了Nicol数的存在性,设a=p1α1p2α2…prαr,其中r是大于1的正整数,pi(i=1,2,…,r)是不同的奇素数,αi(i=1,2,…,r)是正奇数,证明了如果n=a或2a,则n不是Nicol数.     

关于数论函数σ(φ(n))的下界

对于正整数n,设σ(n)、(?)(n)分别是n的约数和函数和Euler函数.本文证明了:当n是幂数 时,必有σ((?)(n))>6n/π2.     

代数体函数微分单项式的值分布

利用Nevanlinna代数体函数的值分布理论,讨论了代数体函数微分单项式的值分布问题,得到了:设w(z)是一个v值代数体函数,那么当n≥(l2+2σ+2l0+4)v-2σ-2时,(w’)i1…(w(n))in(w(z))n取任意非零有限复数无穷多次,除非w(z)是代数函数.     

数论函数d(n)和σ(n)的部分和渐近估计式的推广

设 d(n)和σ(n)分别是除数函数和除数和函数 ,本文将渐近估计式 ∑n≤ xd(n) =xlogx +(2γ -1 ) x+O(x ) (x >2 )和渐近估计式 ∑n≤ xσ(n) =ζ(2 )2 x2 +O(xlogx) (x >2 )进行了一系列的推广 ,给出了∑n≤ xp | nd(n) ,∑n≤ xp | nd(n) ,∑n≤ x(-1 ) n- 1 d(n) ,∑n≤ xp | nσ(n) ,∑n≤ xp | nσ(n) ,∑n≤ x(-1 ) n- 1 σ(n)等和式的渐近估计式 .     

正态分布参数函数的估计

讨论正态分布N(μ,σ2)的参数(μ,σ2)的函数θ=exp{aμ ba2}(a≥0,b≥0)的估计问题,给出了θ的最大似然估计及矩估计.在μ和σ2的先验分布独立时,在损失函数L(θ,a)=(θ-a)2和L(θ,a)=(θ-1×a-1)2下给出Bayes估计和最小最大估计.     

关于Diophantione方程x~(d(n))+y~(φ(n))=z~(σ(n))的本原解

对于正整数n,设d(n),ψ(n),σ(n)分别是n的约数函数、Euler函数和约数和函数.本文证明了:当n无平方因子时,除了n=2或者n是适合n=3(mod 4)的奇素数这两种情况以外,方程xd(n)+yψ(n)=zσ(n)没有正整数解.     

平方根序列推广形式的均值公式(Ⅱ)

讨论了a2(n)以及推广形式的σα(a2(n))(α>1)函数均值问题,得到了几个有规律的结果,其中σα(n)为n的因子的α次幂和的函数,a2(n)是F.sm arandache提出的平方根序列.     

猜想σ(ф(n))/n≥1/2

本文证明了当k≤7,a1＞a2＞…＞ak＞1,且ai 1(i=1,2,…,k)是素数时,σ∏ki=1ai≥∏ki=1(ai 1)成立,进而证明了当n素因子个数不超过7时,猜想σ((n))/n≥1/2成立.     

带有强迫项的三阶差分方程解的振动性

研究一类带有强迫项的三阶差分方程△3(a(n)x(n)-b(n)x(n-τ))+p(n)x(n-σ)+q1(n)xλ(n-σ)-q2(n)xμ(n-σ)=f(n)的解的振动性问题.所得结论推广了已有文献的结果.     

正态线性模型中误差方差的一类不可容许的二次型估计

设y_1,y_2,…y_n是均值为β,方差为σ~2的相互独立的随机变量,β∈R~1,σ~2>0均是未知参数.本文证明了:当α>1/(n+2)时,在损失函数(d-σ~2)~2/σ~4下,aS~2+bY~2不是σ~2的可容许估计,其中S~2=??(y_i-y)~2,y=1/n??y_i.     

一类高阶微分方程解的增长性

研究了微分方程f~(k)+A_(k-1)f~(k-1)+…A_2f″+A_1e~(az~n)f′+A_0e~(bz~n)f=F解的增长性,其中A0(z)、A1(z)、F(z)是级小于n的整函数,A j(z)(j=2,3,…,k 1)是次数不超过m的多项式,a、b为非零复常数.证明了该方程的所有解f(z)满足(f)=λ(f)=σ(f)=∞,2(f)=λ2(f)=σ2(f)=n,至多除去2个例外复数b.     

一类用Salagean算子定义的解析函数及其Fekete-Szeg(o)不等式

设A表示在单位圆E={z:|z|<1}内解析函数f(z)=z+a2z2+…构成的函数类.本文引进用Salagean算子定义的新的解析函数A的子类Mα(n,β,σ,η),用初等方法讨论了该函数类中的Fekete-Szeg(o)不等式,并推广某些已有的相关结果.     

关于σ(n)和φ(n)的一个整除式

设φ(n)表示n的欧拉函数,σ(n)表示n的所有正因子和,ω(n)表示n的不同素因子的个数.对于整除关系φ(n)|σ(n),其中n是正整数,当n为素数时只对n=2,3成立.讨论了当n至多有3个不同的素因子时,n为哪些合数时才能使该整除式成立,其中解2α(2α 2-1)(其中2α 2-1为素数,α∈N)与偶完全数2n-1(2n-1)(其中2n-1为素数且n∈N)类似.     

关于广义Fermat数F_(6,1,n)的一个结论

对于任意的正整数n,σ(n)表示n的所有不同因子的和.若存在不同的正整数a,b,c满足σ(a)=σ(b)=σ(c),则称a,b,c为亲和三数组.在此给出了广义Fermat数F(6,1,n)=62n+1不与任何正整数构成亲和三数组的结论.     

一类与I_n算子有关的解析函数的Fekete-Szeg不等式

引入了一个与算子I_n有关的解析函数类Q(a,n;A,B),利用函数的极值和单调性,讨论了此函数类的a_3-ua_2~2不等式.假设f(z)∈(a,n;A,B),u∈C,则有a_3-ua_2~2≤(A-B)(n+1)(n+2)/18(1+2a)max {1,|9u(A-B)(1+2a)(n+1)/8(1+a)~2(n+2)+B},|a_2|≤(A-B)(n+1)/4(1+a),且对所有的u等号都成立.当参数a、B、A取一些特殊值时,得到一些特殊函数类的Fekete-Szeg不等式.