Hilbert空间中的Bellman问题

给出了迹类算子的若干不等式,并证明了 Hilbert 空间中的 Bellman 不等式 Tr(A~kB~k)≥Tr(AB)~k 对 k=2~n 及任二正的迹类算子 A 与 B 成立.同时还证明了当 k=2~n 时,对任一迹类算子 A,不等式 Tr(A~kA~(nk))≤Tr(AA~˙)~k也成立.针对这两个不等式的一般情况,引入了 k-可换性与 k-正规性,证明了有关算子类的闭性及其逼近性质.     

关于Hadamard-like不等式（英文）

给出了由林明华提出的Hadamard-like不等式问题的部分证明,用直接的方法证明了该不等式当n=2,3时不成立,当n=4时成立以及对于特殊的三对角矩阵,该不等式当n≥3时恒成立.最后,文中给出了一种新的Hadamard-like不等式,此种不等式对于任意的Hermitian矩阵当n≥2成立.     

关于矩阵张量积数值半径的两个问题

借助矩阵张量积和矩阵数值半径的性质,证明了不等式r(A1 … Ak)≥ ki=1r(Ai)和等式r(A B)=r(B A),其中A1,…,Ak,A,B∈L(U).同时,举例说明了不等式r(k A)≤rk(A)不成立,而当A1,…,Ak为正规阵时,有r(A1 … Ak)= ks=1r(As).     

矩阵张量积数值半径的一个不等式和一个等式（英文）

借助矩阵张量积和矩阵数值半径的性质,证明了不等式r（A1×…×Ak）≥∏ i=1 r（Ai）和等式r（A×B）=r（B×A）,其中A1,…,Ak,A,B∈L（U）.同时,举例说明了不等式r（k×A）≤rk（A）不成立.而当A1,…,Ak为正规阵时,有r（A1×…×Ak）=∏ i=1^ k r（As）.     

弱条件Bellman不等式及其推广

讨论了弱条件下的两个 Bellman诱导不等式 ,证明了 Bellman不等式仍能在弱条件下成立 .在此基础上 ,进一步证明了非负不增趋于零的无穷序列 { ak}在相同弱化条件下 ,可将 Bellman不等式推广到更为广泛的形式 ∑∞k=1(- 1 ) k+ 1f (ak)≥ f(∑∞k=1(- 1 ) k+ 1ak) .这一数学结构的扩广 ,将对深入研究和分析变量之间的变化性状与相互制约 ,具有更加广泛的实用价值     

几类MINKOWSKI不等式

0 引言E_r(x)表示非负变量组x_1,…,x_n的,r(r=1,…,n)次基本对称函数.即■[A,B]=AB-BA表示方阵A与B的换位子矩阵。在不等式的发展理论中,有三类最荃本的不等式,即A一G不等式,H6lder不等式和Mjnkowski不等式,它们在各类分析间题中起着重要的作用.因而对Minkowski不等式做进一步的探讨很有必要.本文运用两类推广的对称不等式,得到了几类Minkowski不等式.     

矩阵张量积数值半径的一个不等式和一个等式

借助矩阵张量积和矩阵数值半径的性质,证明了不等式r(A1(×)…(×)Ak)≥∏ki=1r(Ai)和等式r(A(×)B)=r(B(×)A),其中A1,…,Ak,A,B∈L(U).同时,举例说明了不等式r(k(×)A)≤rk(A)不成立.而当A1,…,Ak为正规阵时,有r(A1(×)…(×)Ak)=∏ks=1r(As).     

关于正线性映射的逆向Ando′s不等式的研究

研究了正线性映射的逆向Ando′s不等式Φ(A)#αΦ(B)≤K(m,M,α)~(-1)Φ(A#)αB。首先,利用范数不等式得到了正线性映射的逆向Ando′s不等式的p=2次幂形式;进而利用p=2时逆向Ando′s不等式证明了12时的逆向Ando′s不等式。     

关于Hadamard-like不等式

给出了由林明华提出的Hadamard-like不等式问题的部分证明,用直接的方法证明了该不等式当 n＝2, 3 时不成立,当 n＝4 时成立以及对于特殊的三对角矩阵,该不等式当 n≥3 时恒成立.最后,文中给出了一种新的Hadamard-like不等式,此种不等式对于任意的Hermitian矩阵当 n≥2 成立.     

关于Bellman不等式的一个注记

对Bellman不等式及其相关问题进行了有益的探讨,推广了文献[1]的一个重要不等式,得出在一定条件下的Bellman不等式的更一般形式,探讨了不等式在一般条件下的相关问题.     

矩阵迹数的几个不等式的推广

本文证明了复数域上n×n矩阵迹数的几个不等式,把它们应府到Hermite矩阵中,概括了关于正定矩阵,对称矩阵的Bellman不等式并将之推广到更一般的情况,同时给出推广后不等式等号成立的充要条件。     

关于log-Minkowski不等式的注记

研究了L0空间中的log-Minkowski不等式猜想.利用著名的Blaschke-Santaló不等式与凸函数的性质证明了:当其中一个凸体为球时,log-Minkowski不等式是正确的,且等号成立当且仅当另一凸体也为球.进一步得到了关于中心对称凸体的Urysohn不等式.     

关于Bellman不等式的注记

本文证明了关于矩阵迹的七个命题:1.trAB≤(trA~2)~(1/2)·(trB~2)~(1/2),A′=A,B′=B,且等式成立A=kB 或B=kA(k≥0)。2.(tr(A+B)~2)~(1/2)≤(trA~2)~(1/2)+(trB~2)~(1/2),A′=A,B′=B.且等式成立A=kB 或B=kA(k≥0)。3.trAB≤tr((A+B)/2)~2,A′=A,B′=B,且等式成立A=B。4.trA~2≤(trA)~2,A 半正定,且等式成立rk(A)≤1。5.trAB≤(trA)(trB),A,B 半正定,且等号成立(?)A=0或B=0或A=kB(k>0)且rk(A)=rk(B)=1。6.tr(AB)~2≤trA~2B~2,A′=A,B′=B,且等式成立AB=BA。7.tr(AB)~2≤(trAB)~2其中A,B 为正定阵.A=TT′,B=QQ′,且等号成立rk(C)≤1,其中C=(T′Q)(T′Q)′。     

关于Wielandt & Hoffman不等式的推广

对于2个n×n自伴矩阵A、B,有Wielandt & Hoffman不等式,即n∑i=1(λi-μi)2≤|| A-B ||2F,其中,λ1≥λ2≥…≥λn,μ1≥μ2≥…≥μn分别为A、B的特征值,||·|| F为Frobenius范数.文章将不等式推广到可分复无限维Hilbert空间,对于Hilbert-Schmidt算子A、B,分别考虑为正算子、Hermitian算子及有限秩Hermitian算子等情况,从而得到相应的不等式.     

关于正定矩阵的一个行列式不等式

本文讨论正定的厄米特(Hermite)矩阵的一个行列式不等式,即定理设■是n阶正定的厄米特矩阵(简称正定阵),n—r>1,则|H|≤|A|·|C|—|A|·|B·A~(-1)B|,(1)且等式成立的充要条件是B=0。     

Bellman不等式的推广及其应用

利用变量代换解普通的微分不等式,对Bellman不等式进行了适当的推广,并举例说明这一推广后的不等式的一个应用,推广了文献[4]中定理6的一个结论.     

关于Sierpinski不等式

用更直接和简单的方法把著名的Sierpinski不等式推广到幂平均的情况 .此外 ,证明了对任意正数不等式12 [Mr(a) +M-r(a) ]≥G(a)当n=2时成立 ,而当n≥ 3时未必成立 .其中Mr(a) =1n∑nk=1ark1r ,而G(a) =na1 a2 …an .     

关于HF-矩阵的一个未解决问题

针对两个n阶HF -矩阵的Hadamard乘积是否一定使弱Oppenheim不等式成立这个问题 ,证明了当n=2时 ,上述疑问成立 ;当n≥ 3时 ,总存在两个n阶HF -矩阵 ,使弱Oppenheim不等式不成立 .     

Engel群上Yang不等式的推广

本文研究了Engel群上sub-Laplace算子的Dirichlet问题{-ΔEu=λu在Ω内u=0在Ω上,其中ΔE=X_1~2+X_2~2为Engel群上的sub-Laplace算子,X1,X2为Engel群上的左不变向量场.利用Chebyshev不等式及算子特征值、特征函数的性质得到了此问题特征值的不等式kΣi = 1(λk+1-λi)α≤2~(1/2)(kΣi=1(λk+1-λi)βkΣi=1(λk+1-λi)2α-β-1λi)1/2其中,α∈R,β≥0且α2≤2β.当α=β=2时即为Yang不等式,所以上述不等式是Yang不等式的一个推广.     

基于g期望的Minkowski不等式

为了证明g期望的Minkowski不等式,在g满足次线性条件下,针对非负生成元,利用比较定理和Young不等式,介绍了g期望的H(o)lder不等式;然后借助于该不等式证明了对于任意平方可积随机变量,当g满足次线性条件且为正值生成元时,g期望的Minkowski不等式成立.