關於單葉對稱函數的係數

1.引言:設k次對稱函數f_k(z)=z+sum from n=1 to ∞a_(nk+1)~(k)z~(nk+1)在單位圓|z|<1中是正則的,單葉的。此種函數的全體成一函數族S_k。設k次對稱函數F_k(z)=z+sum from n=1 to ∞c_(nk+1)~(k)/Z~(nk+1)在區域1<|z|<∞中是正則的,單葉的。此種函數的全體成一函數族∑_k。簡寫S_1為S。關於S_2中函數的係數,曾有人推测|a_(2n+1)~(2)|≤1,但當,2≥2時,就有人舉例证明它不一定成立。本文證明:     

關於解析函數的一個極值性質

本文通過極值函數的造作,利用從屬原理来估計一族解析函數的模和它的係數,並且證明另一族解析函數的一個掩蔽定理。類似的問題,曾經被Z.Nehari所研究。本文所得的結果,可述如下: 定理1.設f(z)=αz+…在單位圓的內部|z|<1是正則的,並且|f(z)|<1。設由W=f(z)將|z|<1映照成黎曼面W(f),W(f)在W平面上的投影成一區域D_f。假如D_f有如下的境界點d:圓|W|<|d|被W(f)的一葉而只有一葉所遮蓋,     

關於星像函數和凸象函數之不入像的點

1.設函數w=f(z)=z+α_2z~2+…在單位圓|z|<1中是正則的,單葉的這種函數的全體記做S。當函數f(z)∈S時,單位圓|z|<1經過w=f(z)映照後得到w平面上的區域D_f。設w_v,v=1,2,…,n是w-平面上不屬於D_f而适合於關係arg w_(v+1)/w=2π/n,v=1,2,…,n,(w_(n+1)=w_1)的n個點,設     

單葉函數的開始多項式的凸像半徑

1.設f(z)=z+c_2z~2+…+c_nz~n+…是單位圓|z|<1中的正則單葉函數,其全體形成函數族S。小堀憲(A.Kobori)證明:若f(z)是一單葉星像函數,則其開始多項式S_n(z)=z+c_2z~2+…+c_nz~n的凸像半徑是1/8。本篇改善這個定理為如下的形式: 定理1.設f(z)∈S,則f(z)的一切開始多項式S_n(z)在圓|z|<1/8中成凸像     

單葉函數論中的面積原理Ⅱ

§1.單葉函數論中的許多極值問題,可以利用面積原理來解决貏e關於有限向量之偏差,往往只通過面積原理就能獲得準確的估計。作者曾利用面積原理導出單位圓外的半純函數具有單葉性的充要條件,並且獲得深刻的偏差定理。本文仍依靠面積原理,用類似的方法,探討幾類函數具有單葉性的充要條件和它們的偏差     

开拓戈鲁辛和夏尔绳斯基的几个定理

1.S表示|z|<1中正則且單葉的函數f(z)=z+a_2z~2+…的全體所成之族。∑表示在區域|ζ|>1中半純且單葉的函數F(ζ)=ζ+α_0+(a_1/ζ)+…的全體所成之族。 設f(z)/f＇(0)∈S,且當|z|<1時|f(z)|<1。當f＇(0)≥T,(01上是正則,單葉的,     

關於單位圓上的單葉函數的係數

S表示單位圆|z|<1上單葉且正則的函數 f(z)=z+α_2z~2+α_3z~3+… (1.1)的全體所成之族。設S′是S的一個子族,S′中任一函數满足條件 R(α_3)>0,R(α_2)<0。對於S′中的函數,本文證明R(α_2+α_3)之最大值是可以達到的,其值是1.03…。達到此值的極值函數的一切係數都是實數,極值函數只有一個。舍勾和飛克得[6]謝缶和斯賓塞爾[3]以及沙拉烏洛夫先後用樓五納的參數表示法和變分法,求出 |a_3-αa_2~2|(0≤α<1)的值,並指出達到此值的極值函數的一切係數都是實數,而且極值函數只有一個。本篇僅用變分法来建立他們的定理。惜缶[4]指出使|a_n|達到最大值的函數(1.1),其映象區域的境界是一組伸展到無窮遠處的解析若當曲綫。謝缶和斯賓塞爾[3],戈魯辛[5]分別證明對於|a_4|和|a_5|的極值區域,其境界綫只有一根。本篇對於|a_6|和|a_7|證明同樣的事實。證明是靠着如下的引理:     

星形區域的一個掩蔽定理

§1.設函數W=f(ζ)=ζ+α_2ζ~2+…在單位圓|ζ|<1中是正則單葉的,且將單位圓映照为關於W=0成星形的區域D。這種函數的全體記做T。記σ(f,ρ)是圓周|W|=ρ上不屬於D的一切點所成的點集的勒貝格角測度,記     

關於k次的典型實照函數

1.設函數f_k(z)满足下面(a)或(b)兩種條件之一: (a)a_1.f_k(z)在單位圓|z|<1中是正則的,在實軸上取實數恼归_式為     

關於典型實照函數的一些估計

1.設函數f(z)在含有一段實軸的區域G中是正則的,f(z)在實軸上取實值,在區域G的其他部份,滿足下面的條件: 當(?)(z)>0時,(?)(f(Z))>0; 當(?)(z)<0時,(?)(f(z))<0。(1)稱這種函數f(Z)為區域G上的一個典型實照函數。設區域G為單位圓|z|<1,在|z|<1上的一切典型實照函數f(z)適合條件f(0)=0,f′(0)=1的全體成一函數族T_r。戈魯淨證明:對於T_r中任一函數f(z),必有單調增加的實函數a(θ),(0≤θ≤π),適合於     

星形函數相鄰兩個係數?牟

§1.設w=f(z)=z+sum from n=1 to ∞(α_(n+1)~(k) z~(kn+1))在單位圓|z|<1內是正則的,當它映照|z|<1於w平面,其映像關於w=0成星形,我們簡稱這種函數為一星形函數浧渥鍨镾_K~*。當K=1時,戈魯淨證明:     

摆幅分離函数的係数

設在圓|z|≤γ上正則的函數,f(z)=z+a_2z~2+……+a_nz~n+……在圓上除z=0外沒有別的零點。再設有一整數m≥1使當本文就是去指出这种函教展式中的前、捆系教。,,甸,"。十,迪合不等式!a。!"、条,一,,一2,",……"+'。这需要根攘在下引理:在半佃圆周     

单叶函数的开始多项式的一些性质

1.引言。设n是一整数,函數w=f(z)=z+sum from v=1 to ∞ [C_(vn+1)~(n)z~(vn+1)]在單位圆E_z,z|<1,上是正則的單葉函數。它映照E_x於D_f,區域D_f具有這樣的性質:當w_0∈D_f時,e~(i(2kπ/n))W_0∈D_f,k=0,1,2,…,n-1。這種函數f(z)的全體成一族S_n,簡寫S_1=S。若D_f以原點W=0為星形中心,就是說當W_0∈D_f時,線段0W_0整個地落在區域D_f中,則称f(z)是一個星像函数,記其全體所成之族为S_n~*,簡寫S_1~*=S~*。星像函數的特徵是     

关于典型实照函数的一些性质

§1 引言 1-1.设區域B包含實軸上的一些區間I,f(z)是B中之一半純函數。設f(z)在這些區間I上取到實值,並且在其餘部分,(f(z))与(z)常常保持同號:即當(z)>0時,(f(z))>0; 當(z)>0時,(f(z))<0, 羅各辛斯基稱這種函數f(z)為區域B上的一個典型實照函數。戈魯辛研究這樣的函數族T_r:其中任一函數f(z)在單位圓|z|<1上是典型實照的正則函数,並且f(0)=0,f＇(0)=1。他證明了下面兩個定理:     

復且大學函數論教研組一年來關於函數論方面的研究

引言本教研組同人,一年來的研究,有些關於實函數論的,有些關於級數論的,也有些關於概率論的,而大部分的研究,乃是屬於解析函數論,其中尤以單葉函數論的攻鑽占着主要地位。本篇將這些研究成果,彙集起來做一番有系統的敘述而省略其所有的證明。筆者寫過一篇“單葉函數論在中國”,是1955年五月中完成的,凡是在這篇文章中,已經說過的成果,原則上不在本篇重提。因此本篇所述的研究,雖然有些成熟在今年五月以前,但是有一部分是在五月以後做出來的虼?所述的研究成果,大都還未曾發表過,但是在不久的將來,都要逐一在雜誌上公布。     

多连区域上的典型实照函数

1.設G是z平面上的區域,它含實軸的一部份或全部,f(z)是G上的正則函数或半純函数。假如在G上成立着 (z)(f(z))≥0 那末稱f(z)是G上的一個典型實照函數。 單位圆|z|<1上的典型實照函數f(z)適合條件f(0)=0,f＇(0)=1時Robertson證明有單調增加函数α(θ)滿足     

近於凸的奇函數

1.序言 對在圓|x|<1中的解析函數f(z),若在圓|z|<1中存在一個凸像函數φ(z),使f′(z)/φ′(z)有大於0的實部,我们说f(z)在圆|z|<1中,对于φ(z)为近于凸的函數。當f(Z)與φ(z)分别满足條件f(z)=-f(-z),φ(z)=-φ(-z)时,称     

解析函數的環

1、總說 設D是平面上的一個區域,假如對於D的每一個境界點存在D上的一個有界解析函數在此點是非常點,那末稱D是一個班勒維(Painlevè)區域。設B(D)是D上的有界解析函數的全體,依通常的加法及乘法B(D)形成一個環。Chevalley和Kakutani證明:當D与D′都是班勒維區域時,存在由B(D)到B(D′)的代數同構映照φ的充要條件是(i)存在將D′映照到D的單葉解析函數φ(x′)使當f∈B(D)     

半线性椭圆差分方程的交替方向迭代法

本文研究一般区域上的一种交替方向迭代法解半线性椭圓差分方程,对单参数給出了收斂速度的估計,得出解半线性椭圆差分方程的收斂速度与解线性椭圓差分方程的收斂速度是基本上一致的;曾在103机上对数值例子进行計算对比,結果表明与理論的証明完全一致。     

圓環上某種羅朗級數的係數

設調和函數V(γ,θ)在點(γ,θ)存在ε>0,當0<δ<ε時,不等式V(γ,θ-δ)V(γ,θ+δ)<0成立,则稱V(γ,θ)在此點有一次變號,若V(γ,θ)在圓周|z|=γ上,當θ=θ_1,θ_2,…,θ_q時,都有一次变號,0≤θ_1<θ_2<…<θ_q<2π,並且在0≤θ<2π有沒有別的變號,那末我們說V(γ,θ)在|z|=γ變號q次。設圓環0<ρ<|z|<1上的正則函數