两个拟互素因子链上倒数幂GCD与倒数幂LCM矩阵的非奇异性

设S={x1,x2,…,xn}是一个正整数的集合,a是一个正实数.如果一个n阶矩阵的第i行第j列的元素定义为1/(xi,xj)a,其中(xi,xj)a表示S中的元素xi与xj的最大公因数的a次幂,则称这个矩阵是定义在S上的倒数幂GCD矩阵,用(1/Sa)表示.类似可定义倒数幂LCM矩阵[1/Sa].作者得到了定义在两个拟互素因子链上的倒数幂GCD矩阵与倒数幂LCM矩阵的行列式公式,并由此证明了定义在两个拟互素因子链上的倒数幂GCD矩阵与倒数幂LCM矩阵均是非奇异的.     

最大公因子封闭集上幂矩阵行列式的整除性

设S=x1,x2,...,xn是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1.如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素xi和xj的最大公因数的a次幂(xi,xj)a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂GCD矩阵,用(Sa)表示.类似可定义幂LCM矩阵[Sa].作者证明了:若S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且a|b,如果n≤3,那么det[Sa]|det[Sb],det[Sa]|det[Sb];如果max{xi}xi∈S<12,那么det[Sa]|det[Sb],det[Sa]|det[Sb].     

幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n)是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因子的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的口次幂GCD矩阵,用(S~a)表示.类似定义幂LCM矩阵[S~a].本文证明了:设S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且正整数a∣b.如果n≤3,那么det(S~a)I det[S~b];如果max{x_i)＜12,那么det(S~a)f det[S~b].x_i∈S     

定义在两个互素因子链上的交错Smith矩阵的整除性

设S={x1,x2,…,xn}是n个正整数组成的集合,a是正整数.如果一个n阶矩阵的第f行第j列的元素定义为(-1)i+j(xi,xj)a,其中(xi,xj)a表示S中的元素xi与xj的最大公因数的a次幂,则称这个矩阵是定义在S上的a次交错幂GCD矩阵,用(ASa)表示.类似可定义a次交错幂LCM矩阵ASa].作者证明...     

两个互素因子链上的幂GCD矩阵的行列式与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1. 如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因子的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)矩阵,用(S~a)表示. 类似可定义a次幂LCM矩阵[S~a].作者证明了:设S由两个互素的因子链构成并且1∈S. 若a|b,则det(S~a)|det(S~b),det[S~a]|det[S~b]和det(S~a)|det[S~b].若S由两个不互素的因子链构成, 则如此分解定理不成立.     

因子链上幂矩阵行列式的整除性

设S＝{x1,……,xn}是由n个不同正整数组成的集合,ε∈Z ,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元xi,xj的最大公因数(xi,xj)的ε次幂(xi,xj)ε,就称这个矩阵是定义在S上的最大公因数的ε次幂矩阵,简记为(S)εn;如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元xi,xj的最小公因倍数[xi,xj]的ε次幂[xi,xj]ε,就称这个矩阵是定义在S上的最小公倍数的ε次幂矩阵,简记[S]εn为.如果S中元素满足1≤i≤j≤n有xi|xj,就称S是一个因子链.研究了对ε∈Z ,定义在任意因子链S上的幂矩阵(S)εn和[S]εn的行列式det(S)εn与det[S]εn间的整除性.     

定义在三个拟互素因子链上的倒数幂矩阵的非奇异性(英文)

首先给出定义在三个拟互素因子链上的倒数幂GCD矩阵和倒数幂LCM矩阵的行列式的计算公式,由此证明定义在三个拟互素因子链S上且S的最大公因子属于S时的倒数幂GCD矩阵和倒数幂LCM矩阵是非奇异的.但当构成S的三个因子链不素时,如此的结果不成立.     

定义在三个互素因子链上的交错幂GCD和交错幂LCM矩阵的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并且设a为正整数.如果一个n阶矩阵的第i行j列元素定义为(-1)~(i+j)(x_i,x_j)~a,其中(x_i,x_j)_a表示S中的元素x_i与x_j的最大公因子的a次幂,则称这个矩阵((-1)~(i+j)(x_i,x_j)~a)是定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)交错矩阵,简记为(AS~a).类似可定义a次幂最小公倍数(LCM)交错矩阵((-1)~(i+j)[x_i,x_j]~a),简记为[AS~a].在本文中,设S由三个互素的因子链构成,且1∈S.作者证明了如下结果成立:(1)若a|b,则det(AS~a)| det(AS~b),det[AS~a]| det[AS~b],det(AS~a)| det[AS~b];(2)在n阶整数矩阵环M_n(Z)中,若a|b,则(AS~a)|(AS~b),[AS~a]|[AS~b],(AS~a)|[AS~b];若ab,则(AS~a)(AS~b),[AS~a][AS~b],(AS~a)[AS~b].     

惟一因子分解整环上的GCD幂矩阵与LCM幂矩阵

设S={x1,x2,…,xn}是惟一分解整环R上的不同元素构成的集合,e≥1是一个正整数．(xi,xj)和[xi,xj]分别表示xi,xj的最大公因子和最小公倍数．S称为因子封闭集(简称FC集),如果对S中的任何元xi,它的任意一个因子是S中的一个元的相伴元．以(xi,xj)的P次方为i行j列元素的矩阵称为GCD幂矩阵,记为(S^e);以[xi,xj]的e次方为i行j列元素的矩阵称为LCM幂矩阵,记为[S^e]．作者证明了若S是FC集,则(S^e)整除[S^e],即[S^e]等于(S^e)与R上另一个矩阵的乘积,推广了Bourque和Ligh在1992年所得的结果．     

使得幂GCD阵（Se）整除幂LCM矩阵［Se］的四元gcd封闭集S的一个刻画

Hong在2002年证明了如下结果:若S为gcd封闭集且|S|≤3,则在|S|阶整数矩阵环M|S|(Z)中,GCD矩阵(S)整除LCM矩阵[S].设e≥1为给定的整数.在本文中,我们给出了关于四元gcd封闭集S的充分必要条件,使得在环M4(Z)中,定义在S上的e次幂GCD矩阵(Se)整除e次幂LCM矩阵[Se].这部分解决了Hong在2002年提出的一个公开问题.     

特征矩阵方幂的秩的一个性质

设A∈Mn(C)定义了A的特征矩阵A-λiE,其中λi是A的一个ri重特征值,∑nririj=ri,rij是初等因子(λ-λi)rij的重数,利用T(rij)0是幂零矩阵研究了特征矩阵的幂(A-λiE)mj=1的秩随幂指数m的变化情况,并得到了(A-λiE)m的秩的公式。     

关于GCD封闭集上幂矩阵行列式之间的整除性

设a,b,n为正整数,S={x_1,…,x_n}是由n个不同正整数x_1,…,x_n构成的集合,(S^a) ([S^a])表示n×n矩阵,其中第i行第j列元为x_i和x_j的最大公因子(x_i,x_j)(最小公倍数[x_i,x_j])的a次幂.本文我们给出以下结果：若a|b,n≤3, 则det?(S^a ) |det?(S^b ), det?[S^a ]|det?[S^b ],det?(S^a)|det?[S^b];若a|b,n≥4,S是n个不同正整数构成的n-3重最大公因子闭集,则det?(S^a ) |det?(S^b ), det?[S^a ] |det?[S^b ], det?(S^a)|det?[S^b];对任意正整数n≥4,存在n-4重最大公因子闭集S,使得det?(S)?det?(S^2), det?[S]?det?[S^2],det?(S)?det?[S^2]. 我们的结果加强和推广了Hong在2003年和Chen等在2020年得到的结果.     

试论自然数幂的求和

文中就自然数幂的求和给出三种不同的方法，对加强理解求和问题，开拓解题思路提供了一种思维模式．     

幂矩阵的秩展开公式

设A是n级复数矩阵,E←可逆矩阵T,使A^m=Tdiag[J1^m,J2^m,…,J2^m]T^-1,其中：Ji（i=1,2,…,s）是初等因子（λ-λi）^ri所对应的若当块,并且∑i=1sri=n,借助等式rankA^m=∑i=1srankJi^m,利用rankJi^m的特点,分别从A是否可逆两个角度及幂指数m的不同取值范围,给出了幂矩阵A^m的秩rankA^m的展开公式。     

二元积分幂平均不等式

将文 [1]的加权Carlson不等式推广为二元积分幂平均不等式。     

一种求解PageRank问题的修正乘幂法

在现代搜索引擎技术中,PageRank算法发挥了非常重要的作用,通常用幂法计算描述Web链接图的Google矩阵的特征向量,然而当最大特征值与次大特征值不能很好地分离时,幂法的表现较差,主要原因是当阻尼系数接近于1时,算法收敛速度会很慢.因此开发较原有幂法更高效的算法是非常有价值的.本文提出了一个针对PageRank问题的改进幂法,数值实验表明了新算法的有效性.