关于丢番图方程x~4±5x~2y~2 5y~4=z~2

利用初等方法及Fermat无穷递降法 ,获得了丢番图方程x4 ± 5x2 y2 5y4 =z2 与x4 ± 10x2 y2 5y4 =z2 的正整数解公式     

关于丢番图方程x~4 kx~2y~2 y~4=z~2

的研究已有很长的历史.Fermat,Euler,Legendre,Lucas等均有过工作,1914年,Pocklington对(A)仅有平凡解的情况给出了6个判定定理,并在总结前人结果的基础上列出了-100到100间的56个k值,对这些k值(A)仅有平凡解xy=0(以下此表简称P表)注.1969年,Mordell在中重新提出方程(A)。1978年,Sinha利用Mersenne素数的性质给P表增添了一个新值k=30.本文给出处理(A)的一种较为一般的方法,并给出一系列命题以判定(A)仅有平凡解,从而给P表增添了18个新值。k=32,39,40,46,50,54,58,72,75,76,80,82,-33,-34,-41,-46,-57,-58.鉴于Baker的“有效方法”不能处理方程(A),因此,对所有的k值判定(A)的解看来是很困难的.     

关于丢番图方程x~3±1=pD_1y~2

设D1是无平方因子的正整数,p≡1(mod 6)为素数,运用Pell方程px2-3y2=1的最小解、同余式、平方剩余、勒让德符号的性质等初等方法,证明了:当D1是不能被3或6k+1型的素数整除的正整数、p=3n(n+1)+1时,丢番图方程x3±1=pD1y2无正整数解.     

关于丢番图方程x~4-py~4=z~2

利用初等方法给出了丢番图方程x4-py4=z2,(x,y)=1,2|y当p=Q2+1,p为奇素数时的全部正整数解,从而拓展了Mordell关于x4-py4=z2的结果。     

谈谈丢番图方程x~2+y~2=z~2

本文讨论了丢番图方程（1）的本原解的公式，介绍了费与（Fermat）无穷递降法，证明了丢番图方程x4±4y4=z2，x4+y2=z4无xyz≠0的解，并讨论了几个特殊的丢番图方程的解。     

关于丢番图方程px~4-(p-1)y~2=z~4

利用初等方法给出了丢番图方程px4-(p-1)y2=z4当p=qQ2+1,2|Q,q≡3(mod4),p、q为奇素数时的全部正整数解,从而拓展了王洪昌和王春光的px4-(p-1)y2=z4的结果.     

关于丢番图方程x~4+Dy~4=z~2

设p为奇素数.利用同余性质及Fermat的无穷递降法,证明了:D=p3,p≡3,7(mod 16);或D=-p3,p≡9,13(mod 16);或D=2p3,p≡3,5(mod 8);或D=4p3,p≡3,7(mod 16)时,方程x4+Dy4=z2,gcd(x,y)=1均无正整数解.同时给出D=3时方程的全部正整数解.     

关于丢番图方程x~4+dy~4=z~2

利用分解法和无穷递降法研究了一类丢番图方程的解,结果证明了丢番图方程x4+dy4=z2,gcd(x,y)=1,这里d为整数且d≠0,在d=3n及n≡3(mod4)时,无正整数解。     

关于丢番图方程x~4+4py~4=z~2

利用初等方法给出了丢番图方程x4+4py4=z2当p=2Q2-1,2|Q时的全部正整数解,从而拓展了Mordell关于x4+4py4=z2的结果。     

关于丢番图方程4x~4+py~4=z~2

利用初等方法给出了丢番图方程4x4+py4=z2,(y,z)=1当p=Q2+1,4 Q,p为奇素数时的全部正整数解,从而拓展了王洪昌关于4x4+py4=z2的结果,即完全解决了p=Q2+1,p为奇素数的情形.     

关于丢番图方程px~4-(p-4)y~2=4z~4

李辉利用初等方法给出了丢番图方程px4-(p-4)y2=4z4当p=qQ2+4,q≡3(mod4),p,q为奇素数时的全部正整数解,由于篇幅限制,只发表了一部分证明.我们补充了其它证明部分,从而给出了全部证明.     

关于丢番图方程x~3+1=427y~2

证明了丢番图方程x3+1=427y2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~3+1=959y~2

该文应用递归数列、同余方程、勒让德符号等方法,证明了丢番图方程x3+1=959y2无正整数解.     

关于丢番图方程x~3+1=559y~2

该文证明了丢番图方程x~3+1=559y~2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~3+1=365y~2

该文证明了丢番图方程x~3+1=365y~2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~3+1=749y~2

应用递归数列、同余方程、勒让德符号等方法,证明了丢番图方程x~3+1=749y~2无正整数解.     

关于丢番图方程x~3+1=67y~2

利用循环连分数、同余以及Pell方程的解的性质证明了不定方程x3+1=67y2仅有平凡整数解(-1,0).     

关于丢番图方程x~3+1=143y~2

该文运用简单同余法、分解因子法、Pell方程法等初等方法求解丢番图方程x~3+1=143y~2.首先运用因式分解法把丢番图方程x~3+1=11×13y~2分解为与之等价的8个方程组,然后运用同余、转化、勒让德符号等初等数论的基础知识、方法,证明前7个方程组无解,最后运用递归数列以及Pell方程的解的性质证明最后一个方程组仅有唯一解,由此得到丢番图方程x~3+1=143y~2有且仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~3+1=215y~2

利用递归数列、同余式、平方剩余以及Pell方程解的性质证明了不定方程x3+1=215y2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~3-1=371y~2

利用同余、平方剩余、递归序列、Pell方程的解的性质证明了丢番图方程x~3-1=371y~2仅有整数解(x,y)=(1,0).