高维线性微分系统零解稳定性的某些反例的构造法

<正> 线性微分方程组((dx)/(dt))=Ax,A=(a_i (t))_( xn),X=(x_1,x_2,……,x_n)~T零解的稳定性,当A是t的函数阵(非常数阵)时,不能象A是常数阵那样,由方程det(A—λE)=0 (E为n阶单位阵)的根来判断,甚至会出现相反的情况。文[1]、[2]就n=2时的情形作了研究。文[3]研究了n=3时的情形,给出了构造反例的模型方程组(即引理)及这类方程组零解稳定性的判别法,并构造了三类反例。     

关于变系数线性系统(dx)/(dt)=A(t)x与(dy)/(dt)=[A(t) B(t)]y的渐近等价性

对于线性系统(H)和(NH),当系数矩阵A(t)=A 为常数阵时,文[2]建立了它们之间的渐近等价关系.本文的定理针对A(t)是变系数矩阵的情况,得到系统(H)和(NH)的渐近等价性。     

关于变系数线性微分方程的求解

本文给出了高阶变系数线性微分方程具有形如e~(ax)Z型解的充要条件——定理1,此定理推广了文[1]、[3]的结论,由定理1导出的定理2和定理3及其推论与特例,为文[2]、[3]、[4]、[5]有关例题的求解,提供了简捷有效的方法;最后,利用Leibniz(莱布尼兹)公式推导出几类特殊的变系数线性微分方程的求解公式,并给出了通解表达式。     

不分明单位区间的紧性

文[1]引入了不分明单位区间的概念,文[2]引入了L不分明拓扑空间(L—fts.)的α紧与α~*紧的概念,证明了当α∈L~α时,不分明单位区间I(L)是α紧的,并提出了0<α<1时I(L)是否为α~*紧的问题。文[3]构造反例说明了文[2]中的定理6.8是错误的,并且对重要的情形囘答了文[2]的问题。本文证明当α∈L~c时I(L)是α紧的。同时指出了文[3]中的一处疏漏,最后给出了I(L)为α~*紧的一些充分条件,它们包含了文[3]中的定理3。     

M-矩阵的几个性质

本文给出了M-矩阵的几个密切相关的性质,其中第一个性质,(即定理1)是Markham在文[1]中所得结果的推广,而第二个性质(即定理2)可以看作第一个性质的直接推论。本文主要结果如下: 定理1.设A为M-矩阵,且存在正整数P,使A~P为块上(下)三角阵,则A也是块上(下)三角阵。 定理2.设A为M-矩阵,且存在正整数P,使A~P为可约矩阵,则A也是可约矩阵。     

关于“奇异M—阵和广义对解占优阵的实用判定准则”一文的注记

指出文[1]中的一处错误,并给出反例,分析其证明中产生错误的原因。由于定理本身的错误结果,导致其后判定程序的错误,因此对满足文[1]定理3条件的判定还需进一步研究,本文给出了矩阵主子式与其Schur补的行列式之间的一个性质,通过其可以直观地观察到矩阵本身的某些性质,又对这一性质给出几个应用,即为文[1]中的几个定理提供了另一种简捷的证明方法。     

解某类函数方程的迭代法

本文在文[1]的启示下,借助文[2]的迭代思想,给出了形如Af(x) Bf[h(x)]＝g(x)这类函数方程的迭代法.提供了在一定条件下,这类函数方程解的具体表达式.应用所得的结论,可直接写出方程的解,使其求解的过程得以简化.文中所获得的结果是有关文献竞赛试题或例题的推广.     

捕食—被捕食系统解的有界性定理的研究

美国Fred Brauer教授于1979年在文[1]中建立了一般捕食-被捕食系统(1)的一个有界性定理,其中x,y分别表示食饵与捕食种群的数量.f(x,y),g(x,y),分别表示两种群的增长率.F,G是常数,当F>0,G>O时,分别表示食饵与捕食者的收获率.当F<0,G<0时,分别表示食饵与捕食者的投放率.F和G可以一个等于零,也可以同时为零.经过分析研究发现文[1]中的有界性定理,在β(F)≠∞时,结论是正确的,但证明不够完善.在β(F)=∞时,证明有漏洞,其结果有错误.并且举出了反例. 文[1]假设捕食一被捕食系统(1)满足下面条件     

对"On some generalizations of fuzzy continuous functions"一文的注

推广了文[1]第二部分中的所有概念和所有定理(即定理2.2、2.4、2.5、2.7、2.9、2.11和2.12),并通过举反例说明文[1]中的定理2.6是错误的.     

《关于<可求和性与解析开拓>一文的注记》的注记

除特别申明外,本文均沿用[1]中的定义和记号。文[1]中通过反例说明V.F.Cowlng在[2]中提出的引理3.1和定理4.3是不正确的,但他提出的定理也是不正确的。本文除建立类似[1]中定理1外,同时还证明了比[1]中定理2条件较宽的定理3。     

论一类一致概周期函数结构性质的特征(Ⅱ)

关于一致概周期函数的构造性质Е.А.Брдихина在文中[1]—[5]中曾作了一系列的工作。她在文[4]、[5]中曾对傅立叶指数有唯一的极限点在有限远处的一类一致概周期函数进行了研究,获得了与周期函数逼近论中Jaokson定理和Бернштейн定理相类似的定理。亦就是对于这一类一致概周期函数,作者在文[6]中平行的建立起了周期函数逼近论中的A.Zygmund定理。在本文里,作者将要研究的是另一类一致概周期函数的构造,这类函数的傅立叶指数有唯一极限点在无穷远处。特别,一切纯粹的周期函数属于这一类。     

方程+f(X,)+g(X)=0的极限环

书[1]对84年以前国内外有关极限环理论的重要成果作了总结和介绍,文[2]和文[3]是纳入[1]的两个定理,分别给出了方程+f(x,)+g(x)=0和方程+F()+G(x)=0存在稳定极限环的充分条件。本文给出更加广泛的二阶非线性方程+f(x,)+g(x)=0存在稳定极限环的一组充分条件。文[2]对f(x,)所加条件主要是针对x给出,本文则主要针对给出,且估值方法有所不同。而文[3]可认为是本文定理的特例或推论,文[3]的方法较繁。     

一组恒等式的q—模拟（Ⅱ）

A．Mercier讨论了一组恒等式。文[2]给出了其定理1－3的q-模拟形式。本文在[2]的基础上给出了其定理4－6的q-模拟形式，也推广了文[2]的结果。     

一阶常微分方程可积的新类型

本文受文[2]的启示,推广了文[1]研究的一类可积的一阶常微分方程,给出了这类新的一阶常微分方程可积的充分条件及积分表达式。所得结论与文[2]的定理互不包含。     

用区域收缩算法构造证明大范围隐函数定理

本文用区域收缩算法给出了大范围隐函数定理的构造证明,其结果包含了文[1]的结论,从而肯定回答了区域分析方法可以著名的隐函数存在定理给出构造性证明.     

几类变系数线性系统的代数解法及其应用

本文研究了变系数线性系统dx/dt=A(t)x(1)某些类型解的公式表示,得到了可用公式表示的充要条件。用本文的方法可直接根据系统中的系数构造出变系数线性系统稳定性问题中的一些反例,所得类型比文[1]中反例包含的参数要多,所用方法比文[2]简便。     

偶幻阵及其构造

修正了文[1]中的一个错误结论,证明了偶幻阵的存在性并给出了两种构造任意阶偶幻阵的方法。     

对“关于曲线拐点判别法”一文中某些问题的探讨

文[1]中给出了判别曲线上点是否为拐点的两个充分条件。然而两个定理的证明却是错误的。本文通过具体的反例阐述了其证明错误的原因,并且同时否定了其中的一个定理的推论,进而给出另外一定理的正确证明。     

拉格朗日微分中值定理证明中辅助函数作法探讨

针对应用拉格朗日微分中值定理时,如何巧妙地构造辅助函数提出了一种有效的方法,即常数变易法,解决了微积分学中一些有关应用拉格朗日中值定理的证明问题。并给出了相应的例题,从而有助于教学。     

关于Bernstein多项式逼近p阶有界变差函数的注记

本文研究Bernstein多项式B_n(f,x)对p阶有界变差函数的逼近,所给出的逼近度较大地改进了文[1]定理2.1、文[2]定理和文[3]定理2。