关于投影群PSU(3,q)的一个注记

讨论了自同构群为PSU(3,q)的2-(v,k,1)设计,利用置换群的轮换分解,得到了一个组合设计的参数与置换群元素的稳定点的数目之间的不等式,证明了投影群PSU(3,q)不能区传递地作用在一个射影平面上.     

二维典型群PSL(2,q)与旗传递2-(v,k,λ)设计

旗传递性是附加在2-设计的自同构群上的重要条件之一。1988年,Zieschang证明了旗传递2-(v,k,λ)设计当(r,λ)=1时其自同构群G只能是仿射群或者几乎单群,故可以利用有限单群分类定理来分类此类设计。本文研究自同构群G是旗传递的且其基柱Soc(G)为单群PSL(2,q)的2-(v,k,λ)设计,解决了在限制条件(r,λ)=1且v≤1 000时此类设计的分类问题,共存在18个两两不同构的设计。     

基于两类循环码构造3-设计

信道编码理论中最热门的课题之一是利用组合设计和群论等数学知识构造新的循环码.由于循环码具有良好的代数结构,被广泛应用于工程和通信等领域.构造在F_7^m上两类循环码族,第一类码的参数为[q+1,q-7,d],其中d≥6,m≥2且为整数;第二类码参数为[q+1,8,q-9],其中m≥2且为整数.设q=7^m,由已给出的两类循环码的任意非零权重的码字的支撑集在一般射影线性群PGL(2,q)下是不变的,且一般射影线性群PGL(2,q)在射影直线PG(1,q)上的作用是3-传递的,从而可以验证对应的关联矩阵构造3-设计.     

2F4（q2）群与2-（v,k,5）对称设计

如果一个非凡的t-设计是一个对称设计,则t=2.设2-（v,k,λ）是一个非平凡的对称设计,G是它的一个旗传递自同构群.在过去正对λ≤4情形研究的基础上,本文讨论λ=5的情况.证明了如果G是2-（v,k,5）对称设计的一个旗传递点本原自同构群,并且G是几乎单群,则G的基柱不能为2F4（q2）群.证明中需使用2F4（q2）群的极大子群的分类,同时也需要考虑2F4（q2）群的置换表示.     

旗传递5-(v,k,2)设计

如果一个非平凡的t-设计具有一个旗传递的自同构群,那么t≤6,并且它的自同构群是[(t+1)/2]齐次本原群.因此,一个旗传递5-(v,k,2)设计的自同构群是3-齐次本原置换群.利用3-齐次本原置换群分类定理,讨论了旗传递5-(v,k,2)设计的分类问题.通过分析5-(v,k,2)设计的组合数量关系和3-齐次本原置换群的性质,部分解决了旗传递5-(v,k,2)设计的分类.证明了如果群G是一个非平凡的5-(v,k,2)设计D的旗传递自同构群,那么Soc(G)=PSL(2,q),并且q=2e或3e.     

2F4（q2）群与2-（v,k,5）对称设计

如果一个非凡的t-设计是一个对称设计,则t=2.设2-（v,k,λ）是一个非平凡的对称设计,G是它的一个旗传递自同构群.在过去正对λ≤4情形研究的基础上,本文讨论λ=5的情况.证明了如果G是2-（v,k,5）对称设计的一个旗传递点本原自同构群,并且G是几乎单群,则G的基柱不能为2F4（q2）群.证明中需使用2F4（q2...     

典型群PSpn(q)与2-(v,k,1)设计

设d是－2－（v,k,1）设计，G是d上的区传递，点本原且非旗传递的自同构群，如果G＝PSpn(q)（n≥14，q为偶数），则下列之一成立：Gp∈l1且Gp不是SPm（q）⊥SPn-m(q)型的（m≥）；（2）Gp∈l8。     

旗传递4-(v,k,6)设计与Sz(q)群

设S=(P,B)是一个非平凡的4-(q~2+1,k,6)设计,其中q=2~(2n+1)且为整数。如果G≤Aut(S)在S上区传递且Soc(G)同构于李型单群Sz(q)群,则G在S不是旗传递的。     

Re(q)群与斯坦诺5设计

对斯坦诺5设计的旗传递自同构群进行了讨论,得到了定理:设D=(X,Ω,I)是非平凡的斯坦诺5设计,D的自同构群G旗传递地作用在D上.若G是几乎单群,则G的基柱不是群Re(q).     

典型群PSL（3，q）,PSL（2,Q）（q=2^l）与2—（v,k,1）设计

首先讨论自同构群是典型群PSL(3,Q)(q=2^l)的区本原的2－(v,k,1)设计,证明了它必是点本原的。其次证明了区要原的2－(v,k,1）设计不能以PSL(2,Q)(q=2^l)作为其自同构群。     

外部平面图的L(p,q)-标号

对于正整数p,q,n与图G,如果函数φ:V(G)→｛0,1,2, ,n｝满足如下关系:若distG(u,v)=1,则|φ(u)-φ(v)|≥p;若distG(u,v)=2则|φ(u)-φ(v)|≥q,那么称函数φ为图G的L(p,q) 标号.在所有L(p,q) 标号中最小的n称为(p,q) 跨度,记作λ(G;p,q).本文证明了如下结论:设图G是一个最大度为Δ的外部平面图,那么λ(G;p,q)≤qΔ+4p+2q-4.     

高度平面图的L(p,q)—标号

研究高度平面图G的L(p,q)-标号问题，证明了高度平面图h1-图的L(p,q)-标号数满足:λ(G;p,q)(2q-1)Δ+6(p-q)；h2-图的L(p,q)-标号数满足:λ(G;p,q)(2q-1)Δ+8p-6q-1. 对于L(2,1)标号问题Griggs和Yeh有一著名猜想：对最大度为Δ的任意图有λ(G)Δ2. 此猜想对高度平面图是正确的.     

典型群PSL(3,q),PSL(2,q)(q=2l)与2-(v,k,1)设计

首先讨论自同构群是典型群PSL(3,q)(q=2     

旗传递5-(v,k,2)设计(II)

假定D是一个5-(v,k,2)设计,G是一个D的自同构群,并且G的基柱Soc(G)=PSL(2,2n).利用PSL(2,q)的子群作用于投影线上的轨道,证明了G不能旗传递的作用在非平凡的5-(v,k,2)设计上.这是旗传递t-设计的分类问题的一个结果.     

不含4-圈的平面图的L(p,q)-标号

令G为平面图,用Δ(G)和λp,q(G)分别表示G的最大度和L(p,q)?标号数,其中p和q是满足p≥q的两个正整数.证明了若G为Δ(G)≤5且不含4-圈的平面图,则λp,q(G)≤(2 q?1)Δ(G)+8p+1 4q?11.这一结论改进了有关文献的相关结果.     

SL(n,q)共轭类

特殊线性群SL(n,q)是一般线性群GL(n,q)的正规子群.其中q是素数p的幂,即q=p~n。Grcen~([1]),Dickson~([2])给出了GL(n,q)的共轭类。那末GL(n,q)的共轭类在什么条件下限制到SL(n,q)后分裂?又怎样分裂?再之,判别SL(n,q)的两个元素是否共轭的准则是什么?这些就是本文解决的主要问题。     

围长至少为6的平面图的L(p,q)-标号

令λp,q(G)为图G的L(p,q)-标号数,其中p和q是正整数且p≥q.证明了若G是围长g(G)≥6的平面图,则λp,q(G)≤(2q- 1)△(G) +4p +6q-5;若G是围长g(G)≥6且△(G)≠5的平面图,则λp,q(G)≤(2q-1)△(G)+ 10p-2q-4.这一结果暗含着对于g(G)≥6且△(G)≠5的平面图G,Wegner的猜想成立.     

Ree群2G2(q)自同构群阶分量刻画的简化证明

借助Sylow 2-子群阶数≤8的有限单群的分类,证明Ree群~2G_2(q)(q=3~(3~s),s≥1)的自同构群可被其阶分量刻画,简化文献(肖芳芳,曹洪平,陈贵云.数学学报,2013,56(4):545-552.)中命题3的证明.     

无4,5,6-圈且无两个相交三角形的平面图的L(p,q)-标号

令λp,q(G)为图G的L(p,q)-标号数,证明了若G是不合4,5,6-圈且不含两个相交三角形的平面图,则λp,q(G)≤(2q-1)△(G)+max｛4p +4q-4,6p +2q-4,8p-4｝.这一结果暗含着对于不合4,5,6-圈且不含两个相交三角形的平面图G,Wegner的猜想成立.     

特殊射影线性群L_5(q)的OD-刻画

若存在k个互不同构的群与群G具有相同的群阶和素图度数序列,则称群G是可k重OD-刻画的.特别地,若k=1,则称群G是OD-刻画群.利用群阶和素图度数序列证明了特殊射影线性群L5(q)是OD-刻画群,其中q(2≤q15)是素数的方幂.