Series-Parallel图的全选择数与全色数

对2-连通Series-Parallel图G，证明了当△（G）≥4时，其全选择数等于△（G） 1；在△（G）≥3时，其全色数等于△（G） 1；对△（G）≠时，其边选择数等于其边色数（即列表染色猜想）。由于外平面图是特殊的Series-Parallel图，本文包含了外平面图的相应染色结论。     

开外平面图的边面全色数

一个无割点的外平面图称为开外平面图，如果它的每一个内面的边界至少含有一条外边。本文证明了：若Ｇ为开外平面图，则（ｉ）当△（Ｇ）＝３时，ｘ２３（Ｇ）＝４，当△（Ｇ）≥５时，ｘ２３（Ｇ）＝△（Ｇ）；（ｉｉ）当△（Ｇ）＝２，４时，４≤ｘ２３（Ｇ）≤５，其中ｘ２３（Ｇ）为平面图Ｇ的边面全色数，△（Ｇ）是Ｇ的点最大度。     

一个特殊的双外平面图的全染色

双外平面图是一个平面图，它可以嵌入到平面上并使得它的顶点出现在两个面的边界上．设G是一个双外平面图，V(G)、E(G)、F(G)分别为双外平面图G的点集、边集和面集．G的全色数XT，(G)是使得V(G)∪E(G)中的任意相邻或相关联的两个元素均染不同颜色的最少颜色数．本文证明了最大度至少是6的2连通的特殊双外平面图G的全色数是△(G) 1，其中△(G)为G的最大度数．     

关于完备色数（II）

平面图Ｇ（Ｖ，Ｅ，Ｆ）的完备色数χｃ（Ｇ）是使得集合Ｖ（Ｇ）∪Ｅ（Ｇ）∪Ｆ（Ｇ）中的相邻点，相邻边、相邻面、相关联的点边、相关联的点面及相关联的边面均染为不同颜色的最少颜色数。一个无割点的外平面称为开外平面图。如果它的每一个内面的边界至少含一条外边。本文证明了：若Ｇ为开外平面图且其顶点最大度△（Ｇ）≥６，则χｃ（Ｃ）＝△（Ｇ）＋１。     

外平面图的边面 List 染色

设Ｇ是无割点平面图，ｘｅｆｌ（Ｇ）为Ｇ的边面Ｌｉｓｔ选择数。本文证明了若Ｇ为最大度Δ（Ｇ）≥６的无割点外平面图，则ｘｅｆｌ（Ｇ）＝Δ（Ｇ）。     

关于外平面图的边面全染色

本文证明了：若Ｇ为简单外平面图，则（ｉ）当Δ（Ｇ）≥４时，Δ（Ｇ）≤Ｘｅ（Ｇ）≤Δ（Ｇ）＋１；（ｉｉ）当Δ（Ｇ）＝３时，４≤Ｘｅ（Ｇ）≤５，且Ｘｅ（Ｇ）＝５当且仅当Ｇ－Ｅ＇含有奇圈分支，其中Ｅ＇为Ｇ的割边集合，Δ（Ｇ）为Ｇ的点最大度，Ｘｅ（Ｇ）为Ｇ的边面全色数。     

关于图的边染色方面的一些结果

改进了一些边染色临界图的边数的下界。同时证明了：对没有４－圈或任何两个３－面都不同时关联于一个点的平面图，关于边染色的平面图猜想成立。     

△(G)=9且不含4-圈的平面图的全色数

用△(G)表示图G的顶点最大度.对平面图,当△(G)≥11时,已证明Vizing和Behzad的图的全色数猜想(TCC)是正确的.运用Dischrge方法证明了最大度为9且不含4-圈的平面图的全色数等于10.     

Δ(G)=9且不含4-圈的平面图的全色数

用Δ(G)表示图G的顶点最大度.对平面图,当Δ(G)≥11时,已证明Vizing和Behzad的图的全色数猜想(TCC)是正确的.运用Discharge方法证明了最大度为9且不含4-圈的平面图的全色数等于10.     

不含相交三角形的平面图的无圈边色数的新上界

图G的无圈边染色是图论染色的重要研究对象,为得到平面图的无圈边色数的上界,利用差值转移方法和平面图的结构性质,证得了不含相交三角形的平面图的无圈边色数不超过Δ(G)+6。     

广义Petersen图GP(n,k)的着色

本文研究广义Petersen图GP(n,k)的点着色、边着色和点-边全着色,得到广义Petersen图GP(n,2)的点色数、边色数和全色数,同时还得到当n为偶数,k为奇数时,该广义Petersen图GP(n,k)满足点-边全着色猜想等结论.     

图P_n~k的着色

设k是一个正整数,在含有n个顶点的路Pn=v1v2…vn上,当且仅当两点的距离为k(k≥2)时增加一条边,这样所得到的图叫做Pnk(v1,vn),有时Pkn(v1,vn)也简记为Pnk.论文研究图Pnk的点着色、边着色和点、边全着色,得到图Pnk的点色数、边色数和图Pnk满足点、边全着色猜想等结论.     

一组Nordhaus-Gaddum型定理

分别以Ｘ（Ｇ）、Ｘ１（Ｇ）、Ｘ２（Ｇ）记图Ｇ之色数、边色数和全色数，对任意ｐ阶简单图Ｇ及其补图Ｇ，本文得到以下Ｎｏｒｄｈａｕｓ-Ｇａｄｄｕｍ型结论：本文还指出，上面所有下界、上界对每个正整数ｐ均可达到。     

单圈图及其与完全图联图的全染色

研究单圈Cn’,一类单圈图G以及它们与完全图Km联图Cn’∨Kn,G∨Kn的全染色问题.借助于已知的完全图全染色的相关引理以及归纳总结的方法得出了Cn’,G的全色数以及其与完全图联图Cn’∨Kn,G∨Kn的全色数,从而验证了对这类图全染色猜想的正确性.     

点关联较少3-面的平面图的全染色

证明了对每点至多关联2个3-面的平面图，全染色猜想成立. 对每点至多关联2个3-面且Δ(G)≥8的平面图，有x_T(G)=Δ(G)+1.对每点至多关联[Δ(G)/2」个3-面且Δ(G)≥9的平面图，有x_T(G)=Δ(G)+1.     

关于图的星色函数

图的星色函数是研究星染色的一个重要函数.给出几种重要图类的星色函数,讨论星色函数的一些基本性质,提出几个值得进一步研究的问题.     

较少短圈的平面图的全色数

图G的k-全染色是用k种颜色对图G的V(G)∪E(G)中的元素进行着色, 使得相邻或者相关联的两个元素染不同的颜色, 图G的全色数是使G存在k-全染色的最小整数k. 对最大度为Δ的平面图, 如果(1),Δ(G)≥5且任何点至多关联一个长度至多为5的圈, 或者(2),Δ≥4, 不含3-圈并且任何点至多关联一个长度至多为6的圈, 则它的全色数为Δ(G)+1。     

不含4圈的平面图的无圈边染色

如果图G的正常边染色不包含2-色圈,则称它是图G的一个无圈边染色。图G的无圈边色数表示图G的无圈边染色所需的最小颜色数。利用已有的关于平面图的结构性质,证明了不含4圈的2-连通平面图的无圈边色数不超过Δ(G)+11。     

Cm×Kn的邻点可区别全染色

设G（V，E）是阶数至少为2的简单连通图，k是正整数，V∪E到{1，2，3，…，k）的映射f满足：对任意uυ，υw∈E（G），u≠w，有f（uv）≠f（υw）；对任意uυ∈E（G），有，（u）≠，（υ），f（u）≠f（uυ），f（υ）≠f（uυ）；那么称f为G的k-正常全染色，若，还满足对任意uυ∈E（G），有C（u）≠C（υ），其中C（u）={（u））∪{f（uυ）｜uυ∈E（G），υ∈V（G）），那么称，为G的k-邻点可区别的全染色（简记为k-AVDTC），称min{k｜G有k-邻点可区别的全染色）为G的邻点可区别的全色数，记作xat（G）．本文得到了圈Cm和完全图Kn的笛卡尔积图Cm×Kn邻点可区别的全色数．     

不含相交三角形和4圈的平面图的无圈边染色

如果图G的正常边染色不包含2-色圈,则称它是图G的一个无圈边染色。图G的无圈边色数表示图G的无圈边染色所需的最小颜色数。利用差值转移方法并结合平面图的结构性质,证明了不含相交三角形和4圈的平面图的无圈边色数不超过△(G)+6。