具有调和共形曲率的黎曼流形上的Schouten张量及其应用

文章定义了具有调和Weyl共形曲率张量的黎曼流形(维数n>3)上的Schouten张量,利用这个张量,诱导了一个关于L2 内积自伴的算子,并且通过紧致局部共形对称空间和局部共形平坦空间上的某一函数的不等式刻画了Einstein空间和常曲率空间,同时建立了关于这个张量的一些新的定理。     

爱因斯坦空间与利齐平行空间

爱因斯坦空间与利齐平行空间是两类重要的黎曼空间,本文对确定它们的条件以及二者间的关系试作如下探讨。一、爱因斯坦空间定义若一黎曼空间{M~n,g}的利齐张量为R_(λμ)=αg(λμ)的形状,而且α=R/n(R为数量曲率)是常数时,则称{M~n,g}为n维爱因斯坦空间。定理1 在二维黎曼空间{M~2,g}上,若▽_λR__(μv) ▽_μR_(vλ) ▽_vR_(Xu)=0,则{M~2,g}为爱因斯坦空间。     

黎曼流形上的Ricci曲率张量及其应用

利用由Ricci曲率张量诱导的一个关于L2-内积自伴的算子建立紧致黎曼流形上的某一函数不等式,得到这类流形为Einstein空间的一些充分条件。     

局部对称空间上的闭测地线

讨论了曲率定号的完备黎曼流形上的平行向量场与Jacobi场之间的关系；证明了紧致的偶数维具非负曲率的非单连通局部对称空间上存在无穷多条长度一样的闭测地线．     

具非负曲率的完备非紧黎曼流形

将三维欧式空间旋转抛物面顶点的定义推广到一般的非负曲率完备非紧黎曼流形上,利用Perelman G证明Cheeger-Gromoll核心猜想的几何方法,讨论了具非负曲率的完备非紧黎曼流形M上的核心S的结构, 证明了如果由核心出发的法测地线均为射线,则或者S退化为一点,或者M=Rk×N,其中N是紧致的具非负曲率的黎曼流形.特别地,如果核心的维数仅比流形的维数低一维,可以证明其法测地线均为射线,从而有M=Rn-1×S.     

具平行李奇曲率的共形平坦流形

本文证明了维数大于３的具平行李奇曲率的共形一坦流形局部瞩为常曲率流形或两个常曲率流形的黎曼乘积,同时也得到,具平行李奇曲率的３维黎流形局部上必为常曲率流形或两个常曲率流形的黎曼积。     

关于de Sitter空间中具有平行平均曲率向量的伪脐类空子流形

指标为P的常曲率c(c＞0)的n p维伪黎曼流形称为de Sitter空间,记为Spn p(c).本文研究de Sitter空间中具有平行平均曲率向量的伪脐类空子流形,得到了这类空子流形的一个积分不等式及性质.     

共形对称黎曼流形上的Codazzi张量及其应用

找到一个定义在共形对称黎曼流形上的Codazzi张量,通过诱导的关于这个张量的L2-内积自伴算子,得到关于这个张量的某些函数的不等式,从而刻画了Einstein空间和常曲率空间。     

2-利齐循环空间及其推广

W.Rotter在[1][2]中指出:一n维(n>2)黎曼空间V_n,它的利齐张量R_(ij)对某张量a_(Lm)满足方程(1) R_(ij,Lm)=a_(Lm)=R_(ij)其中R_(ij)■0■a_(Lm),则此V_a被称为2-利齐循环空间。式中逗号表示关于V_n的度量张量g_(ij)的共变导数,R_(ij,Lm)表示R_(ij,Lm),以下同。本文证明了2-利齐循环空间的两个充要条件;提出了2-广义利齐循环空间及其充要条     

关于两个Simons Pinching定理

在[1]中S.T.Yau证明了如下的定理,设M~n是N~(k (k p))(c)的紧致极小子流形,N~(k p)(c)是常曲率为c的(n p)维黎曼流形,s为M~n的第二基本形式长度的平方,k(x)=inf R_(ijij),则有下列积分不等式:     

共形对称黎曼流形上的Codazzi张量及其应用

找到一个定义在共形对称黎曼流形上的Codazzi张量,通过诱导的关于这个张量的L2-内积自伴算子,得到关于这个张量的某些函数的不等式,从而刻画了Einstein空间和常曲率空间.     

黎曼流形的测地映射

Weyl 引进射影曲率张量W_(ijk)~h,且证明它在测地映射下保持不变。本文考察在什么条件下它的一阶协变导数和二阶协变导数的表达式W_(ijk)~h,lm—W_(ijk)~h,m(?)保持不变。设(M~n,g)和((?),(?))是两个n 维黎曼流形,又设Ψ:(M~n,g)→((?),(?))是一个微分同胚。经Ψ把这两个流形恒同,局部有共同的坐标系x~1,x~2,…,x~n。在此坐标系下,流形M~n 的度量张量,度量联结,黎曼曲率张量,Ricci 张量和数量曲率分别为g_(ij),R_(ijk)~h,R_(ij)和R。而M~n 的相应的张量在相应的记号上打一横“一”。如果在映射Ψ下,M~n 的测地线和M~n 的测地线互相对应,则称Ψ是一个测地映射。M~n 和(?)能存在测地映射的充要条件是     

关于4-维Einstein空间的几个结论

本文给出了4—维Einstein空间E~4为常曲率空间的一个充要条件及E~4能等距浸入常曲率空间S~5(C_0)的一个必要条件。     

锥型拟常曲率空间

设(Mm,g)为任意m维黎曼流形,N=M×R+为具有黎曼度量ds2=t2gijdxidxj+c2dt2的黎曼流形.本文将要证明当m=2时N为拟常曲率空间;当m≥3时N为拟常曲率空间当且仅当Mm为常曲率空间.根据此特征,可构造若干非常曲率的拟常曲率空间.例如,球面上任何二维曲面生成的锥都是拟常曲率空间.     

低维复射影空间中的全实极小子流形

研究了复射影空间CP^6中6维全实极小子流形，利用6维紧致黎曼流形的Euler数及Green定理，计算曲率张量R和Ricci张量Rij的模的平方，得到了数量曲率的拼挤常数，讨论了其局部结构．     

利齐循环空间的几个定理

设Vn(n>2)是一个n维黎曼空间。当Vn的黎曼曲率张量R~h_(ijk)满足R~h_(jik),m=0,则称Vn是一嘉当意义下的对称空间,本文中有时简称为对称空间。其中逗号表示关于Vn的基本张量g_(ij)的共变导数(下同). 当Vn的R~h_(ijk)满足R~h_(ijk,m)=a_mR~h_(ijk),R~h_(ijk)(?),0{a_m}是一非零向量,则称Vn是一循环空间。近来很多学者开展了对共形对称空间;共形循环空间;射影对称空间;射影循环空间     

平行Ricci曲率黎曼流形中具有平行中曲率向量的子流形

研究了具有平行Ricci曲率黎曼流形中具有平行中曲率向量的子流形.获得了J.8imons型积分不等式,推广了局部对称空间该类子流形的相关结果.     

局部对称伪黎曼流形中具有平行平均曲率向量的类空子流形

设N_p~(n+p)为n+p维局部对称完备连通的伪黎曼流形,其截面曲率K_N满足0δ≤K_N≤1,Mn为N_p~(n+p)中具有平行平均曲率的类空子流形.通过计算第二基本形式的Laplacian,得到这类子流形关于第二基本形式模长平方的积分不等式及极大条件下的Pinching定理.     

关于拟常曲率空间中具有常平均曲率超曲面

设(Nn 1,g)是n 1维单连通完备的黎曼流形,其黎曼曲率张量取如下形式KABCD=a(gACgBD-gADgBC) b(gACλBλD gBDλAλC-gADλBλC-gBCλAλD), ∑gABλAλB=1,称Nn 1为拟常曲率空间.本文讨论了这类空间中具有常平均曲率的紧致超曲面,给出了关于其第二基本形式模长平方S的积分不等式.     

局部对称空间中关于截面曲率的一个刚性定理

设Nn p是截面曲率K满足12<δ≤KN≤1的n p维局部对称完备黎曼流形,M是N的具有平行平均曲率向量的n维紧致子流形,我们讨论这类子流形,得到其关于截面曲率拼挤定理,将常曲率空间中的类似问题推广到局部对称空间。