关于几何基础中的一个命题

在希尔伯特的几何基础书中第二章§12后面有一个未附证明的命题: 若存在某一个三角形的三个内角和大于、等于或小于两个直角,则每一个三角形的三个内角和也必都如此。 希尔伯特指出了在初等几何公理系统的前三组关联、次序和全合公理基础之上可以证明。为了证明此命题导入下列诸引理,在证明的过程中将用到希尔伯特几何基础第1§1—6。     

不可压理想流体在有角点区域边界上的速度估计

考虑有一个角被对称轴等分的对称有角点平面区域上的Euler方程.通过优化Kiselev和Zlato?的方法,在被等分角附近,垫一个有明确公式的正调和函数,在区域的格林函数下面,得到角点附近边界上流体速度的下界估计.当流体趋向角点时,下界估计趋于0,且角点处内角越大,下界估计越大.我们得到如下结论:第一,若角点处的内角大于π,则有光滑的初始涡量函数,使得没有全局光滑解以它为初值.第二,若内角不大于π,我们证明弱解的"涡量梯度"可以达到某些依赖于内角大小的增长率.类似的结果在非光滑区域上是稀缺的.     

谈“发展式”教学法

“发展式”教学法是教师不直接讲授现成的知识给学生,而引导学生自己去发现命题和规则的一种教学方法。例如,讲《三角形内角和》一课,开始教师根本不提“三角形内角和”,而是和学生一起取出各自预先用纸或纸板剪成的三角形模型,撕下其中的两个角拼到第三个角上去,(学生可任意拼,教师应在黑板上拼成(图1)式样,而不要拼成(图2)式样,     

两外角平分线相等的三角形性质的探讨

＂两外角平分线相等的三角形是否是等腰三角形＂的问题,可以分解为两外角平分线在第三边的同侧与两外角平分线在第三边的两侧两种情况分别用纯几何证法与肯否法证明,由此可得出这样的结论：两外角平分线在第三边的同侧,且两外角平分线相等的三角形是等腰三角形;两外角平分线在第三边的两侧,且外角平分线相等在第三边两侧的三角形是非等腰三角形.     

一道应用题最优解探析

现行全国统编中学数学课本初中《几何》第一册146页例2提出这样一个问题:如图1,在铁路 a 的同侧有两个工厂 A、B,要在路边建一个货场 C,使 A、B 两厂到货场 C 的距离之和最小,在图中作出点 C.     

数学与唯物辩证法——数学真理的相对性与绝对性

数学真理是相对的还是绝对的?这是长时期围绕数学真理进行争论的主要问题之一。辩证唯物主义认为,数学真理既是相对的,又是绝对的,是相对与绝对的对立统一。我们所讲的数学真理的相对性是指什么呢?先看几个例子。例1,随便拿一个几何命题“三角形三内角和等于180°”来说,它是正确的。但其正确性是有条件的。如果我们所讨论的三角形是属于欧氏平面上的,其内角和的确为180°。但若     

在仿射平面上建立对偶原则的一种方法

本文主要就仿射平面的特征,介绍在仿射平面上建立对偶原则的一种方法。这种方法的要点是将仿射平面上不平行于ox轴的直线m:x y_0y x_0=0与点M(x_0,y_0)建立对偶对应。然后,根据这样的对应来阐述初等几何中本来不相关的两个仅反映仿射性质的命题,却能够对偶地联系起来。     

剪刀式量角器

<正>自一点引出的两条射线所形成的平面图形为角。大家对角的测量和画法一定都比较熟悉。在学习中,我们常遇到这样的题目:已知两条未交叉的线段,求它们的角的度数。通常情况下,我们会延长两条线段使其交叉,然后用量角器量出度数。这种解题方法比较繁琐,耽误时间。此外,我还发现如果角的度量边过短,使用普通量角器量角时,还需延长度量边才能读数。     

求解軸对称流动問題的上限法

一前言滑移线法是求解平面变形(或称平面流动)问题的一个重要方法,对于轴对称流动问题是不适用的。但从几何变形的角度,可将轴对称流动看做是两次平面变形的结果。这样,根据能量不变的原理可以认为轴对称流动的变形应力(出、入口断面上的平均轴向法应力)是相当的平面流动的二倍。     

用重影线法求解两个平面立体的相贯线

提出了用重影线法求解两个平面立体的相贯线并判断可见性的新方法．对两条直线在某投影面上发生重影的现象进行分析，从空间角度认识其几何位置，由此得出重影线的定义．将其加以扩展，应用求解两个平面立体的相贯线的问题上，可以很快得出相贯线并判断可见性．     

从反射律到现代科学

很早以来,人们就知道,从一点 A 发出的光线与平面镜 L 上的一点 P 相遇,然后沿着一定方向折射到 B,使得 AP 和 BP 与镜面形成相等的角.于公元后第一世纪亚历山大的科学家海伦进一步发现:如果 X 是镜面上任意一点,则距离 AX+BX≥AP+BP.这可抽象为如下的数学问题:已知平面上一直线 L 和该直线上同侧的两点 A、B.试在 L 上找一点 P,使得 A 到 P 再到 B的路经 AP+BP 最短.     

什么是命题——逻辑代数之一

一、问题的提出 1982年上半年,北京广播电视大学邀我在北京电视台为北京市中学数学进修教师主讲集合论逻辑代数课程,为联系中学数学教材,我阅读了中学数学统编教材的有关部分。发现其中有些问题,需要提出来与有关方面进行讨论,“什么是命题”就是其中之一。什么是命题?初中课本与高中课本作了不同的回答,一个说它是某种句子,一个说它是某种语言。具体地说全日制十年制学校初中数学课本第三册第43页(或全日制十年制初中数学课本几何第一册第43页)是这样回答的。前面我们讲过:“‘两点决定一直线’、‘经过直线外的一点,有且只有一条直线和这条直线平行’、‘两条直线被第三条直线所截,如果     

一个习题的讨论

夏道行先生等新编《实变函数论与泛函分析》下册P.108习题11叙述了这样一个命题:命题A.完备的度量空间中每个可析集必是至多(?)个致密集的和集.此命题本身是平凡的.事实上,按照该书下册P.61习题2,任何度量空间中可析集的势不超过(?)(易证),而独点集自然是致密的.我们试图将原题理解成下面两个命题:命题B.完备的度量空间中每个可析集至多可以表成(?)个不同致密集的(?).命题C.度量空间中每个可析集至多可以表成(?)个两两不交的致密集的(?).命题C 也是平凡的.因对任何集合E,其两两不交的子集构成的子集簇,势当然不能大于E 的势.命题B 则是错误的.如[0,1]完备,可析,其每个子集都致密.于是[0,1]可以表成2(?)(>(?))个不同致密集的(?).人们自然要猜想提出下一命题,而这命题是否成立并不是很显然的:命题D.完备度量空间中可析集必可表成有限或可列个致密集的(?).     

投影角与两直线空间夹角关系的判定定理

空间两直线所成的角度,投影时并非不变量,其投影角可大于、小于或等于其空间夹角．本文通过空间分析和解析计算推证出构成空间角度的两直线当中有一条直线与投影面平行时,其投影角的判定定理组．     

(4,5)次可展Bézier曲面

目的　为生成一(4,5)次可展B啨zier曲面,并构造出G1合成可展曲面。方法　按照G.Au mann构造可展B啨zier曲面的方法,在两个平行平面(即设计平面)上分别选取4次和5次B啨zier曲线作为设计曲线生成一可展曲面。结果　得到了两条设计曲线的控制多边形应满足的几何位置关系,并详细讨论了此可展曲面上平行于设计平面的截曲线对于设计曲线的保凸性、保形性及奇异性(尖点)的条件;在两个设计平面上分别指定了型值点列后,可构造出G1合成可展B啨zier曲面,它的两条边界曲线插值指定的型值点列。结论　通过边界曲线的设计和适当选取匹配系数,可设计出所需形状的可展曲面,满足诸如凸性、弯曲、角点线或尖点线等要求。     

亚纯函数的公共值与幅角分布

设f(z)是下级大于2的超越亚纯函数,证明了复平面上存在一条从原点出发的射线OR,使得以OR为分角线的任意小角域内,f(z)与其导函数f’(z)至多只有一个IM公共值.     

构造图形巧解向量问题

平面向量由于具有代数形式和几何形式两种特征,使其成为中学数学知识网络的一个交汇点,也成为高考命题的一个热点.纵观近几年的高考试题,不难发现,平面向量已从一种工具逐渐变为高考考查重点.作为考点,高考中此类问题多为选择题或填空题.笔者在对这类问题的解题教学中发现,不少平面向量问题均可利用其几何意义,构造几何图形,利用图形的形象直观和几何性质,使问题得到解决.     

平面几何易混概念辨析举例

鉴于平面几何在人门教学中易混淆概念较多，给学生造成学习上的困难和一定的心理障碍，不利于学生学好平顶几何．根据笔者多年来的教学实践，认为对平面几何易混概念的辩析讲解对提高教学质量极有必要．现举数例辨析如下．l平角与直线由于平角的两边构成一条直线，一般学生就误认为平角就是一条直线．虽从图形上看平角的两边在一直线上，但不能因此认为直线就是平角．因平角是一个角，而直线是一条线，角与线是有着本质区别的两个概念．区分直线与平角的关键要看题中是否有“角的顶点”这几个字，有，则是平角；无，则为直线．2两点间的线段…     

(4,5)次可展Bezier曲面

目的 为生成一(4，5)次可展Bēzier曲面，并构造出G^1合成可展曲面。方法 按照G．Aumann构造可展Bēzier曲面的方法，在两个平行平面(即设计平面)上分别选取4次和5次Bēzier曲线作为设计曲线生成一可展曲面。结果 得到了两条设计曲线的控制多边形应满足的几何位置关系，并详细讨论了此可展曲面上平行于设计平面的截曲线对于设计曲线的保凸性、保形性及奇异性(尖点)的条件；在两个设计平面上分别指定了型值点列后，可构造出G^1合成可展Bēzier曲面，它的两条边界曲线插值指定的型值点列。结论 通过边界曲线的设计和适当选取匹配系数，可设计出所需形状的可展曲面，满足诸如凸性、弯曲、角点线或尖点线等要求。     

环域定理与奇点概念的推广

环域定理在常微分方程定性理论中是人所熟知的。近年来有人研究此定理是否可以推广到三维实心环体中去,也有人把它向流形的分叶理论方面去推广。本文的目的是要把环域定理推广到平面多连通区域去。由于当区域的连通数大于2时,即使轨线都从外部进入内部,区域中仍必然存在奇点,因此不一定存在闭轨线。本文首先引进内外广义焦点与奇闭轨线的概念,估计从奇点跑出的分界线的最少条数,得到确定奇闭轨线内部或外部的奇点指标之和的公式。然后引进内外广义奇点的概念与确定其内外指标的公式。利用这些工具我们证明:在原来的边界条件之下如果环域中有有限个奇点,则必存在包含内境界线在其内部的奇闭轨线。最后推广此结果到平面n连通区域中去。