CM分担一个小函数的亚纯函数

研究CM分担小函数的亚纯函数唯一性问题.得到两个唯一性定理:定理1　设f(z)和g(z)是非常数亚纯函数,α(z)和β(z)分别是f(z)和g(z)的小函数.如果δ(∞,f)=δ(∞,g)=1,δ(0,f) δ(0,g)>1,P(f)=α Q(g)=β,则βP(f)≡αQ(g)或P(f)Q(g)≡αβ　　定理2　设f(z)是非常数亚纯函数,α(z)是f(z)的非零小函数,f-α的零点重数为1.如果f=α f′=α,且当λ<1/2时2N(r,f) N(r,1/f′) N(r,1/(f″-α′)) N(r,1/(f′-α′))<λT(r,f)则f′-αf-α≡c (非零常数).     

随机函数的亏值

假设f(z)为单位圆内的亚纯函数,且满足(?)T(r,f)=∞,Q(z)为非常数有理函数,X(ω)为连续型随机变量,则有结论:随机函数g_ω(z)=f(z)+X(ω)Q(z)几乎必然没有有限亏值。若f(z)为复平面上的亚纯函数,我们也有类似的结论。     

分担多项式的亚纯函数(英文)

在本文中,亚纯函数是指在整个复平面上的亚纯函数.本文是利用复分析的值分布理论来研究亚纯函数的唯一性.设f(z)和g(z)是两个亚纯函数,当fn(z)f′(z),gn(z)g′(z)分担1或者z CM时,前人给出了下面的定理:定理A设f(z)和g(z)是两个非常数亚纯函数,n≥11是一个正整数,如果fn(z)f′(z),gn(z)g′(z)分担1CM,则f(z)=c1ecz,g(z)=c2e-cz,这里c1,c2和c是3个常数且满足(c1c2)n+1c2≡-1;或者f(z)≡tan(z)其中t是一个常数满足tn+1=1.定理B设f(z)和g(z)是两个非常数亚纯函数(整函数),n≥11(n≥6)是一个正整数,如果fn(z)f′(z),gn(z)g′(z)分担z CM,则f(z)=c1ecz2,g(z)=c2e-cz2,这里c1,c2和c是3个常数且满足4(c1c2)n+1c2≡-1;或者f(z)≡tan(z)其中t是一个常数满足tn+1=1.在本文中,我们推广了上述定理,证明了下面的结论:设p(z)为n1次多项式,f(z)和g(z)是两个超越亚纯函数,n≥max{11,2n1+2}是一个正整数,如果fn(z)f...     

亚纯函数与其微分多项式分担小函数的唯一性

对亚纯函数与其微分多项式CM分担小函数的唯一性进行了研究,得到:设f(z)是非常数亚纯函数,k为正整数,a(z)(0)是亚纯函数,并有T(r,a)=S(r,f)(r∞).如果f-a和p(f)-aCM分担0,p(f)与a(z)没有同级的极点且还满足2δ(0,f) 4Θ(∞,f)>5,则f≡p(f).     

亚纯函数及其微分多项式IM分担小函数

研究了亚纯函数f及其微分多项式分担小函数的唯一性问题,证明了f和L (f)分担a (z)的2个唯一性定理,改进了已有的一些结论。假设f (z)是非常数的亚纯函数,k为正整数,a (z)(a (z)?0)是亚纯函数。当f-a和L (f)-a分担0 IM,若满足1 0δ(0, f)+8 (k+1)Θ(∞, f) 8k+17,则f≡L (f).     

亚纯函数的正规族

研究了亚纯函数的正规族问题,得到了如下的结果:设F为区域D内一亚纯函数族,k,m(≥2)为两个正整数.a(≠0)是有穷复常数,若任意的函数f(z)∈F,f(z)的零点重级至少为k,且存在M>0,使得当fm(z)f(k)(z)=a时,|f(z)|≥M或|f(k)(z)|≤M,则F在D内正规.     

亚纯函数与其移动按权分担一个小函数的唯一性问题

研究了有穷级亚纯函数f(z)与其移动f(z+c)按权l分担一个小函数a(z)时的唯一性问题,其中c为非零常数.针对当l≥2,l=1和l=0时3种情况,得到f(z)的相应值分布性质.     

具有Borel例外值的亚纯函数的唯一性

改进了仪洪勋、林伟川等人关于整函数唯一性的定理,得到了关于具有Borel例外值并且级为有穷非整数的非常数亚纯函数的唯一性的结论.设f(z)、g(z)为非常数亚纯函数,g(z)的级λ(g)为有穷非整数,0和∞是f(z)与g(z)的CM分担值,f(z)为正规增长函数,且∞为f(z)的Borel例外值,若存在两个非零有穷判别的复数a1、a2,满足 - E1)(aj,f)(∩)-E1)(aj,g)(j=1,2)且max{(1)(0,f),δ(a1,f),δ(a2,f)｝＞0,或者满足-Ekj)(aj,f)(∩) -Ej)(aj,g)(j=1,2),其中k1≥1,k2≥2,则f(z)≡g(z).     

两类微分多项式的值分布

设f(z)为平面内非常数亚纯函数,Q(f)为f(或f)的线性齐次微分多项式,当n≥2时f~nQ(f)-a(z)有无穷多个零点(其中a(z)是f的小函数).从而改进了f~nQ(f)-c(c为常数)有无穷多个零点这个结果。     

Clunie定理的推广

设 f(z)是超越整函数,a 为异于零的有穷复数,Clunie 证明了:f′f-a 有无穷多个零点。本文对 f′f-a 的零点个数给出定量的估计,并把结果推广到满足条件(r,f)=S(r,f)的超越亚纯函数,改进了 Clunie,Anderson,Baker和 Clunie 等人的有关结果。     

关于亚纯函数分担不动点的唯一性

研究了关于亚纯函数的微分多项式分担不动点的唯一性问题,得到了:若f,g为非常数的亚纯函数,n(＞4m+22)的正整数,如果f n(f m-1)f ′与gn(gm-1)g′IM分担z,则f≡g,或gm=m+n+1n+1 1-hn+11-hn+m+1,f m=m+n+1n+1·(1-hn+1)hm1-hn+m+1(其中h(z)为非常数的亚纯函数).若f,g为非常数的整函数,n(＞4m+11)的正整数,如果f n(f m-1)f ′与gn(gm-1)g′IM分担z,则f≡g;此外,还获得了一个更一般的结果.     

IM分担一个值的亚纯函数的唯一性

运用亚纯函数的值分布理论研究了亚纯函数IM分担一个值的唯一性.获得如下结果：设f与g为非常数的亚纯函数,n≥２３为正整数,若fｎf′与gng′IM分担1,则f=tg,其中ｔ为常数,tn+1=1;或者f(z)=c２e-cz,g(z)=c１ecz,其中c,c１,ｃ２是常数满足（c１ｃ２）n+1c２=-1.     

关于特征函数T(r,f)与T(r,1/f)的关系

本文研究亚纯函数f(z)与1/f(z)的特征函数T(r,f)与T(r,1/f)之间的关系。由Jensen公式推导出了它们的关系式,从而证明了特征函数T(r,f)与T(r,1/f)之间只相差一个常数。     

分担有理函数的亚纯函数

研究亚纯函数的惟一性,证明如下结果:设p(z)和q(z)分别为n1和n2次多项式且互素, f(z)和g(z)是两个超越亚纯函数,n≥max{11,2n1 4n2 3}是一个正整数,如果f n(z)f'(z),gn(z)g'(z)分担有理函数p(z)/q(z)CM,则f(z)=c1Q(z)eα(z),g(z)=c2Q-1(z)e-α(z),这里c1,c2是两个常数,Q(z)是一个有理函数,α(z)是一个非常数多项式,满足(c1c2)n 1(Q'(z)/(Q(z) α'(z))2≡-(p(z)/q(z))2;或者f(z)≡tg(z),其中t是满足tn 1=1的常数.     

分担多项式的整函数

本文研究了整函数的唯一性,证明了如下结果:设p(z)为n1多项式,f(z)和g(z)是两个超越亚纯函数,n≥max{6,n1}是一个正整数,如果fn(z)f'(z),gn(z)g'(z)分担多项式p(z)CM,则f(z)=ciecfp(z)dz,g(z)=c2e-cfp(z)dz,这里c1,c2和c是三个常数且满足(c1c2)n 1c2=-1;或者f(z)≡tg(z),其中t是一个常数且满足tn 1=1.     

亚纯函数族的几个正规定则

设k为一正整数，b为一非零常数，f为区域D上的一族亚纯函数，a1(z)，a2(z)，…，ak(z)为D上的全纯函数,若对f中任意函数f，f在D内的零点重数至少为k 2，且对f中的任意两个函数f，g，f，g在D内分担0，fk(z)与gk(z)在D内分担1，其中fk(z)=f^(k)(z) a1(z)f^(k-1)(z) … ak(z)f(z)，gk(z)=g^(k)(z) a1(z)g^(k-1)(z) … ak(z)g(z)，则f在D内正规。     

关于亚纯函数φ(z)f(z)M[f]的值分布

设k和n0,n1,…,nk为任意的非负数,函数f(z)是复平面上超越亚纯函数,函数φ(z)为f(z)的小函数,且φ(z)≡ / 0.超越函数M[f]＝(f(z))n0(f′(z))n1…(f(k)(z))nk.该文讨论了超越亚纯函数φ(z)f(z)M[f]值分布,提出一个新的定理,并进行了较为详细的证明.     

关于整函数的不动点

本文引进亏函数,推广了Baker关于?函数的不动点定理,其一,设f(z)、a(x)为两个超越整函数,a(z)为f(z)的亏函数,则对于每一个整函数n,函数f(z)有关于a(z)的恰好n除不动点无穷多个,最多除去一个例外的正整数;其二,设f(z)为d≥2次的多项式,b(z)为另一多项式,使得f(z)-b(z)的次数仍为d≥2次,则对于每一个正整数n,f(z)至少有一个关于b(z)的恰好n阶不动点,最多除去一个例外的正整数;其三,设f(z)为复变量z的既约有理函数,分子分母最高次数为d,e,且d-e≥2,则对于每一个正整数n,f(z)至少有一个恰好n阶的不动点,最多除去一个例外的正整数。     

关于ψ(z)f(z)f(k)(z)的值分布

得到在|z|＜+∞内的超越亚纯函数f(z)涉及慢增长函数ψ(z)的微分单项式ψ(z)f(z)f(z)(k)的定量不等式T(r,f)≤N1(r,f)+3{Nk)r,1/f)+N(r,1/ ff(k)-1)}+S(r,f)其中ψ(z)为非零亚纯函数,满足T(r,ψ)=S(r,f);S(r,f)表示o(T(r,f))(r→+∞),至多除去[0,+∞)内一线性测度有穷的集合.     

亚纯函数的一个不等式的证明及其应用

证明了一个关于亚纯函数的不等式,并用此不等式研究了与Hayma的一个结果密切相关的一类亚纯函数的值分布问题,得到了如下结果:如果f(z)为超越亚纯函数,m,n和k都为正整数,且m≥2,n≥2,f(z)的所有零点的重数至少为k,φ(z)是f(z)的一个不恒为零的小函数,则fm(f(k))n-φ(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.