关于Pell方程,,是素数ax2-mqy2=±1(m∈Z+,2▕a,q≡±1(mod4)是素数)

Pell方程ax2-by2=±1(a,b∈Z+,a,b不是完全平方数)可解性的判别是一个非常有意义的问题.运用Legendre符号和同余的性质给出了形如ax2-mqy2=±1(m∈Z+,2 a,q≡±1(mod4)是素数,a,m,q是非完全平方数)型Pell方程无正整数解的几个结论.这些结论对研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用.     

关于Pell方程ax~2-mqy~2=±1(m∈Z~+,3|a,q≡±1(mod6)是素数)

Pell方程ax2-by2=±1(a,b∈Z+,ab不是完全平方数)可解性的判别是一个非常有意义的问题.本文运用Legendre符号和同余的性质给出了形如ax2-mqy2=±1(m∈Z+,3|a,q≡±1(mod 6)是素数,amq是非完全平方数)型Pell方程无正整数解的几个结论.这些结论对我们研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用.     

关于Pell方程是px2-(pn±2)y2=±1(p=-1,±3(mod 8)素数)

Pell方程ax2-by2=±1(a,b∈Z+,ab不是完全平方数)可解性的判别是一个非常有意义的问题.运用Legendre符号和同余的性质给出了形如px2-(pn±2)y2=±1(p≡-1,±3(mod8)是素数)型Pell方程无正整数解的6个结论.这些结论对研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用.     

关于Pell方程ax~2-mqy~2=±1(m∈Z~+,a为奇数,q为素数)

给出了形如ax2-mqy2=±1(m∈Z+,a为奇数,q为素数,amq为非完全平方数)型Pell方程无正整数解的几个结论.     

关于Pell方程x~2-5(5n±2)y~2=-1(n≡-1(mod4))

讨论了形如x2-5(5n+2)y2=-1(n∈Z+,n≡-1(mod4),5n+2为素数)与x2-5(5n-2)y2=-1(n∈Z+,n≡-1(mod4),5n-2为素数)型Pell方程有正整数解的两个结论.     

关于Pell方程qx~2-(qn±2~k·3~l)y~2=±1(k,l∈N,n∈Z,q是奇素数)

运用同余、平方剩余、Legendre符号的性质等初等方法给出了形如qx2-(qn±2k.3l)y2=±1(k,l∈N,n∈Z,q是素数)型Pell方程无正整数解的12个结论.这些结论对研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用.     

Pell方程ax~2-by~2=1的最小解

应用连分数的相关知识得出了形如ax2-by2=1(a,b∈Z+,a>1,ab为非平方的正整数)型Pell方程的最小解的两种求解方法.     

Pell方程x2-aby2=-1有解的一个判别法则

Pell方程x2-Dy2=-1（D不是完全平方数）可解性的判别是一个非常有意义的问题.本文给出形如ax2-by2=±1（a≡b（mod 4）;a,b为互异素数）型Pell方程有整数解的一个判别法则.     

关于Pell方程qx~2-(qn±5)y~2=±1(q≡±1,±3(mod 10)是素数)

运用Legendre符号和同余的性质给出了形如qx2-(qn±5)y2=±1(q≡±1,±3(mod 10是素数)型Pell方程无正整数解的4个结论。这些结论对研究狭义Pell方程ax2-Dy2=±1(D是非平方数的正整数)具有重要作用。     

丢番图方程x~3±1=2pDy~2的整数解

设D=∏r+i(n∈Z),ri≡5 mod 6(1≤i≤n)为彼此不相同的奇素数,p≡1 mod 6为奇素数,关于丢番i=1图方程x3±1=2pDy2的初等解法至今仍未解决.运用Pell方程的解的性质、同余式、平方剩余、递归序列等讨论了丢番图方程x3±1=2pDy2的整数解的情况.     

丢番图方程x~3±1=3qPy~2的整数解

设P=∏r+i(s∈Z),ri≡-1 mod 6(1≤i≤s)为彼此不相同的奇素数,q≡1 mod 6为奇素数,关于丢番i=1图方程x3±1=3qPy2的整数解目前只有部分结果.运用Pell方程的解的性质、同余式、递归序列等讨论了丢番图方程x3±1=3q Py2的整数解的情况,从而推进了该类丢番图方程的研究.     

关于不定方程组x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4的公解

利用递归序列、Pell方程的解的性质,证明了D=2~n(n∈Z~+)时,不定方程x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4只有平凡解(x,y,z)=(±7,±2,0)。     

关于不定方程x~2-6y~2=1与y~2-Dz~2=4的公解

利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等,证明了D=2~n(n∈Z+)时,不定方程x~2-6y~2=1与y~2-Dz~2=4:(i)n=1时,有整数解(x,y,z)=(±485,±198,±140),(±5,±2,0);(ii)n=3时,有整数解(x,y,z)=(±485,±198,±70),(±5,±2,0);(iii)n=5时,有整数解(x,y,z)=(±485,±198,±35),(±5,±2,0);(iv)n≠1,3,5时,只有平凡解(x,y,z)=(±5,±2,0).     

关于Pell方程x~2-(4n+2)y~2=-1的解的几个判别方法

给出了形如x2-(4n+2)y2=-1(n∈N)型Pell方程有无整数解的几个判别法则.     

Pell方程x^2-（a^2-1）y^2=k的解集

应用本原解、解数列等概念,完整、清晰地表述了形如x^2-（a^2-1）y^2=k（k∈Z,k≠0,a≥2）型Pell方程的整数解集.     

Pell方程x~2-Dy~2=±2的解的递推性质

在各类不定方程中,Pell方程x2-Dy2=N是一类基础而重要的Diophantine方程,其正整数解与实二次域的基本单位以及其它代数数论理论有密切联系,对解高次丢翻图方程以及有关递推数列问题有广泛且深入的应用.利用Pell方程的基本解的性质,对方程x2-Dy2=±2的通解进行了讨论,获得了该方程解的一个三阶递推性质,证明了文献(A.Tekcan.Irish.Math.Soc.Bulletin,2004,54(1):73-89.)提出的一个猜想.最后,提出了关于Pell方程x2-Dy2=-2可解性的一些待解决的问题.     

丢番图方程x~3-1=3Py~2的整数解

设P=∏si=1p_i(s≥2),p_i≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列证明了P=pq,p≡13(mod 24)为奇素数,q=12s~2+1(s∈Z~+,2■s)为奇素数,(p/q)=-1时,丢番图方程x~3-1=3Py~2仅有平凡解(x,y)=(1,0).     

Diophantine方程x~3+1=3Qy~2的整数解

设Q=p∏ni=1ri(n∈Z+),ri≡-1(mod 6)(i=1,2,…,n)为互异的奇素数,p≡1(mod 6)为奇素数.运用Pell方程的解的性质、同余式、平方剩余、递归序列等证明了Diophantine方程x~3+1=3Qy~2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程组x~2-5y~2=1与y~2-Dz~2=16的公解

运用Pell方程的解的性质、递归序列和同余等初等方法讨论了当p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数,D=2~tp_1~(a1)p_2~(a2)·p_3~(a3)p_4~(a4)(ai=0或1,1≤i≤4,t∈Z~+,且t≠2,4)时,不定方程组x~2-5y~2=1与y~2-Dz~2=16仅当D=2t×7×23(t=1,3,5,7)时有正整数解。     

高斯环上的丢番图方程x~2＋iy~2=1,x,y∈Z[i]

文章证明了高斯环上的丢番图方程x2＋iy2=1,x,y∈Z[i]不但有非平凡解,而且有无穷多个解,并借助Pell方程找出了所有解的一般形式。