方程dx/dt=-y(1+y-mx),dy/dt=x(1+ax)的轨线的全局结构

在文[1]中我们曾证明方程: dx/dt=-y(1+y-mx),dy/dt=x(1+ax) a≠0 (1)当m=0时有中心点(可积分),而当m≠0时没有闭轨线和含奇点的闭轨线。不失一般性,可设a≤0。在[1]中曾在条件     

(Ⅱ)类方程的分歧曲线(二)——方程(dx)/(dt)=-y+dx+mxy-y~2,(dy)/(dt)=x(1+ax)的分歧曲线的趋向及其唯一性

本文对文[1]中讨论的方程:dx/dt=-y dx mxy-y~2,dy/dt=x(1 ax)(d=m)作了进一步的研究,利用文[3]的结果证明了C_2的唯一性;研究并且确定了分歧曲线C_1的趋向,对文[1]的定理7作了修改,用此严格证明了C_2~*的存在性和唯一性。     

方程dx/dt=-Q(x,x(t-1))具有周期为4的周期解的一个条件

给出了微分差分方程 dx/dt=-Q(x,x(t-1))具有周期为4的周期解的一个条件.     

微分方程(dx)/(dt)=h(y)-F(x),(dy)/(dt)=-g(x)存在极限环的一个充分条件

For the equations dx/dt=h(y)-f(x), dy/dt=-g(x)there are some results about the existence of limiting cycle under the monotone condition provided on h(y). In this paper, the same result without the monotone assumption is proved.     

微分方程组(dx)/(dt)=P_3(x,y),(dy)/(dt)=Q_3(x,y)的週期解与极限环

討論题目中P_3(x,y)与Q_3(y,x)是具实系数的三次多項式时的方程組的週期解与极限环問题。設方程組至少有一指标为+1的初等奇点且可写成下列形式 dx/dt=-y+xF_1(x,y)+gy~2+hy~3,dy/dt=x+yF_2(x,y)+rx~2+sx~3其中,F_1(x,y)与F_2(x,y)均为二次多項式。当g=h=r=s=0时,在F_1(x,y)≡F_2(x,y)或F_2(x,y)≡0的假設下,就上列方程組建立了极限环的存在唯一性定理。此外,对上列方程組本身以及其他一些特殊情况分別給出了存在极限环或不存在週期解的充分性条件。     

功能性反应函数为√x的食饵-捕食者系统的定性分析

研究功能性反应函数为x的食饵-捕食者系统dx/dt=x(a-bx1/2-x)-cyx1/2,dy/dt=y(-d+ecx1/2),讨论了该系统的平衡点及极限环的存在性与唯一性及不存在性.     

形如dx2/dt2+ax-n+b=0的微分方程解的研究

对于形如d2x/dt2+ax-n+b=0的二阶非线性微分方程,注意到当n=2时该方程的一个工程背景,以此工程背景为物理模型,指明在n=2时该微分方程的解X(t)是一个作周期振动的周期函数(但不是正弦函数).以经典力学理论为基础,求出了当n=2时函数X(t)的振幅的解析表达式,并求出了周期的积分表达式,求出了做简谐振动时的振幅和周期的近似表达式.对n为任意自然数时的情形进行了推广分析,认为方程的解仍然是周期振动函数.给出了部分数值仿真结果.     

方程 dy/dx=-(2λx 1)(ax by c) α(λx~2 y~2 x 1)/2y(ax by c) β(λx~2 y~2 x 1)至多存在一个极限环

本文证明系统(dx)/(dt)=2y(ax by c) B(λx~2 y~2 x 1)(dy)/(dt)=-(2λx 1)(ax by c) α(λx~2 y~2 x 1)至多存在一个极限环,并给出存在极限环的参数λ的变化范围。     

功能性反应函数为x~(1/2)的食饵-捕食者系统的定性分析

研究功能性反应函数为x的食饵-捕食者系统dx/dt=x(a-bx1/2-x)-cyx1/2,dy/dt=y(-d ecx1/2),讨论了该系统的平衡点及极限环的存在性与唯一性及不存在性.     

方程(dx)/(dt)=-y dx mxy-y~2,(dy)/(dt)=x(1 ax)的轨线的全局结构

本文就方程dx/dt=-y dx mxy-y~2,dy/dt=x(1 ax)已知不存在闭轨线和含奇点闭轨线,且d=m时的各种可能情况来分析其全局结构及在(a,m)参数半平面上分歧曲线的存在性与相对位置,同时证实了文[2]的关于分歧曲线的一点猜想:当方程d=0,m′<-a′时的(?)是一条真正的曲线,它不可能有内点,也不可能多于一条。     

丢番图方程y(y+1)(y+2)(y+3)=n~2 x(x+1)(x+2)(x+3)解的研究

设n1是正整数,利用Pell方程的正整数解的一组恒等式和高次丢番图方程的结果,研究了丢番图方程y(y+1)(y+2)(y+3)=n~2x(x+1)(x+2)(x+3)的正整数解(x,y),分别在2|/n,3|x的情形下和n不同素因数的个数不超过2的情形下,证明了该方程没有正整数解(x,y).     

形如d^2χ／dt^2＋aχ^-n＋b=0的微分方程解的研究

对于形如d^2χ／dt^2 aχ^-n b=0的二阶非线性微分方程，注意到当n=2时该方程的一个工程背景，以此工程背景为物理模型，指明在n=2时该微分方程的解X(f)是一个作周期振动的周期函数(但不是正弦函数)．以经典力学理论为基础，求出了当n=2时函数X(f)的振幅的解析表达式，并求出了周期的积分表达式，求出了做简谐振动时的振幅和周期的近似表达式．对n为任意自然数时的情形进行了推广分析，认为方程的解仍然是周期振动函数．给出了部分数值仿真结果．     

关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=15y(y+1)(y+2)(y+3)

利用递归数列的方法,证明了不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=15y(y+1)(y+2)(y+3)仅有正整数解(x,y)=(3,1),(25,12).     

不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=11y(y+1)(y+2)(y+3)

运用了一种初等的证明方法,对一个不定方程x(x 1)(x 2)(x 3)=11y(y 1)(y 2)(y 3)的正整数解进行了研究。证明过程中仅涉及到了初等的数论知识,就是采用了递归序列的方法,证明了不定方程x(x 1)(x 2)(x 3)=11y(y 1)(y 2)(y 3)无正整数解,同时这个证明过程也给出了这个不定方程组的全部整数解,它们是(x,y)=(-3,0),(-3,-1),(-3,-2),(-3,-3),(-2,0),(-2,-1),(-2,-2),(-2,-3),(-1,0),(-1,-1),(-1,-2),(-1,-3),(0,0),(0,-1),(0,-2),(0,-3)。     

关于不定方程y（y+1）（y+2）（y+3）=4p2kx（x+1）（x+2）（x+3）

用初等方法证明了不定方程y(y+1)(y+2)(y+3)=nx(x+1)(x+2)(x+3)在n=4p2k(p为奇素数,k为正整数)时无正整数解(x,y).     

关于不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=14y(y+1)(y+2)(y+3)

运用递归数列、pell方程、同余式及平方(非)剩余等方法,证明了不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=14y(y+1)(y+2)(y+3)仅有正整数解(5,3).     

关于不定方程y(y+1)(y+2)(y+3)=112k(x+1)(x+2)(x+3)解的判定

用初等方法证明了不定方程y(y 1)(y 2)(y 3)=nx(x 1)(x 2)(x 3)在n=112k(k为自然数)时无解。     

椭圆Diophantine方程(x+p)(x2+p2)=y2的本原解

设p是素数.在此给出了方程(x+p)(x2+p2)=y2有适合gcd(x,y)=1且y为奇数的正整数解(x,y)的充要条件.     

关于不定方程y(y+1)(y+2)(y+3)=132kx(x+1)(x+2)(x+3)解的判定

本文用初等方法证明了不定方程y(y 1)(y 2)(y 3)=nx(x 1)(x 2)(x 3)在n=13~(2k)(k为自然数)时无解.