利用e~(θi)=cosθ isinθ解三角问题:

在新编高中《数学》教材的复数部分,把模为1、幅角为θ的复数,规定记为cosθ isinθ=e~(θi),这就引入了等式e~(θi)=coθ isinθ。其实这个等式就是古典的欧拉(Enler)公式。由于它的引入,可以使复数化为指数形式:Z=|Z|e~(θi),因而使复数Z 的乘除运算可以按指数律来进行,从而把较繁杂的运算变为简单。据此,我们把三角函数通过欧拉公式用复指数e~(θi)来表示,然后对e~(θi)按指数律进行运算,就可以解决三角中的一些问题。     

试谈EULER公式的辩证思想

Euler,Leonard(1707—1783)是十八世纪最多产的数学家,Euler 在他那个时代的每一门数学中都作出了重要的贡献。1748年,他在《无穷小分析引论》中陈述了关系式:e~(iθ)=cosθ+isinθ,这便是著名的 Euler 公式。Euler 公式不仅在初等数学中有广泛地应用而且在高等数学特别是在复变函数论中更有重要的应用。这一公式之所以有如此广泛的应用,是与它有深刻的辩证思想分不开的。     

负数无对数吗?

负数无对数是在实数范围内而说的,而在复数范围内负数是有对数的,下面就简述一下复数的对数,并以e为底说明之。先从指数谈起: 一、复数指数: 1.定义:若z=x+yi为任意复数。(其中x,y为任意实数)则e是用下式规定的: e~z=e~(x+yi)=e~x(cosy+isiny) 例:e~(7+2i)=e~7(cos2+isin2) e~(4-3i)=e~4[(cos(-3)+isin(-3)]=e~4(cos3-isin3)。 2.性质: ①上述规定是实数指数的自然推广。因为当y=0时,有e~z=e~(x+0)=e~x(cos0+isin0)=e~x。     

关于四元数指数函数的注记

四元数在数理学科以及图像处理领域有着重要的应用.本文研究了四元数体上相应的指数函数,得到四元数体上的欧拉公式,并将复数上的指数乘法e~(iθ)e~(iβ)=e~(i(θ+β))推广到四元数上.     

一类二阶非齐次欧拉方程的特解

对一类形如x2y″+pxy′+qy=f(x)的二阶欧拉非齐次线性常微分方程,利用变量变换化为常系数线性常微分方程。然后用复数法讨论了具有形如f(x)=Axαcos(βln|x|)和f(x)=Axαsin(βln|x|)非齐次项时求特解的方法,得到了用A/F(α+iβ)xα(cos(βln|x|)+isin(βln|x|))和A/F′(α+iβ)xαln|x|(cos(βln|x|)+isin(βln|x|))表示特解的一般公式。应用该方法简单便捷地得到了若干算例结果,表明了所得结论的正确性和算法的实用性。     

复数在几何学中的应用

在复数教学中,利用复平面解决一些几何学中的问题,这不仅可沟通代数与几何间的联系,同时也可以解决学生对复数应用的疑虑。本文以例说明复数在解几何问题中的应用。例一已知圆的内接三角形中以等边三角形的面积为极大。证明以已知圆的圆心为复平面中的原点,设已知圆的半径为r,其内接三角形是△ABC,并且,设向量■和■分别和复数z_1、z_2和z_3相对应(图一)。z_1=r,(r是正实数)z_2=r(cosθ+isinθ),z_3=r(cosθ+isinθ)(cosα+isinα)。那么,     

用欧拉公式计算几类函数的导数和积分

据复指数函数的导数、识分的计算特别简单和实变复值函数的高阶导数、积分公式的特点,将Pn(x)e~(ax)sinβx、Pn(x)e~(ax)cosβx等类型函数的高阶导数、积分问题利用欧拉公式转换为Pn(x)e~(a iβ)x高阶导数、积分问题,参2。     

欧拉公式e~(θi)=cosθ+isinθ在三角中的应用

欧拉公式应用很广。中学教材只提出了此公式和指数式与复数三角式的互化。本文就其在三角中的应用作一些探讨。一、基本公式由欧拉公式eθi=cosoθ＋isinθ容易推出二、应用举例1、求三角表达式的值。＿＿。＿I。3S！llHWeS！ill4tedcosx－cos3x值：由tgx—a。e”－e－”’一al（e“‘＋e－“’）代入上式消去（e“＋e”）2、证明三角恒等式：。：。、、。。ctxxis！nx为方便计算令下一0，原式变为ig36－3、解三角方程：解：把x一1200－x代入②得：s！nxSlfl（IZ’－ie）由欧拉公式得：—、—。一。一卜一1800k＋goo卜—－18O”＋3O”由…     

加拈过程中欧拉公式的应用与修正

本文讨论纱线在加拈过程中兼有轴向及回转运动的情况下,当纱线绕圆柱面滑动时,对纱线两端张力的变化重新作了分析,得出此时应用的欧拉公式必须加以修正为:T_2/T_1=e~(kμθ).k为θ角接触弧段上纱线平均拈回角β的余弦,即k=cosβ。μ为摩擦系数。     

締合勒让德函数的展开及公式P_l~m(cosθ)=(-1)~m(l+m)!/(l-m)!P_l~(-m)(cosθ)的直接証明

在量子力学中讨论有心力场时,一开始就要遇到球谐函数Y_l,m的归一化问题。解决的办法这一涉及要证明P_l~m(cosθ)=(-1)~ml[(l+m)!/(l-m)!]P_l~(-m)(cosθ)这一公式。由于P_l~m(cosθ)与P_l~(-m)(cosθ)完全用cosθ表示时,很难进行展开,因而不能将二者直接比较。故一般对上述公式的证明都不采用展开比较的办法。作者在教学中常遇到同学们希     

缔合勒让德函数的展开及公式P_l~m(cosθ)=(-1)~m((l+m)！/(l-m！))-P_l~(-m)(cosθ)的直接证明

在量子力学中讨论有心力场时,一开始就要遇到球谐函数Y_l,m的归一化问题。解决的办法之一涉及要证明P_l~m(cosθ)=(-1)~m((l+m)!/(l-m!))-P_l~(-m)(cosθ)这一公式。由于P_l~m(cosθ)与P_l~(-m)(cosθ)完全用cosθ表示时,很难进行展开,因而不能将二者直接比较。故一般对上述公式的证明都不采用展开比较的办法。作者在教学中常遇到同学们希     

正交双复数空间的概念

从物理和力学问题表达需求的角度出发 ,提出了正交双复数空间的概念及其特定表达 : =(x ,y) +iz =ρ(cosφ ,sinφ)cosθ +isinθ =ρ(cosφ ,sinφ) eiθ,将平面上的复数和复变函数的概念进行特殊构造 ,扩展到三维空间 ,并建立了相应的四则运算规则 ,讨论了它的解析函数和闭路积分概念。所引出的概念既可包含平面复数及复变函数的全部优点 ,又能方便地表达空间物理问题的直观特性。     

振荡函数积分的一种Gauss型求积公式

本文讨论形如integral from n=-1 to 1 (f(x)e~(iθx))dx(θ为大的正数)的积分的计算方法。构造了计算上述积分的一种Gauss型求积公式。并把所得的公式与已有的一些结果作了比较。     

两个三角恒等式及Euler公式的推广

第一部分给出两个三角恒等式及其证明,然后应用它给出了微分几何中平均曲率的一个重要结果及其证明;第二部分对E3中的一些概念在En中进行了平行推广,再将E3中的Eu ler公式κn(θ)=κ1cos2θ+κ2sin2θ推广到En中,得到En中关于平均曲率积分与法曲率积分相关的关系式。     

全纯函数的Hayman点

设f(z)于单位圆盘全纯,级λ为有穷正数,则在单位圆周上必存在λ级Hayman 点,即存在一点z_0=e~(iθ_0),使对任意正数ε,f(z)在角域|argz—θ_0|<ε中没有有穷的λ+1级Borel 例外值或者它的每一级导数f~((k))(z)没有有穷非零的λ+1级Borel 例外值.     

余弦函数和指数函数在复合意义下的分解

本文讨论了函数cos s,cos(s~(1/2))和e~(?)在复合意义下的分解,主要证明了:cos z的所有形如cos z=fog(z)的分解(f为亚纯函数,g为整函数)是以下三种:(i)f(ζ)=cos(ζ~(1/2)),g(z)=z~2;(ii)f(ζ)=T_n(ζ),g(z)=cos(z/n),其中T_n(ζ)是n(≥2)次Tchebycheff多项式(iii)f(ζ)=(1/2)(ζ~n ζ~(-n)),g(z)=e~(tz/n),n为非零整数。     

同名函数倍角公式及其应用——函数x~n+1/x~n的应用之二

我们从三角学知 cos2α=2cos~2α-1 sin3α=-4sin~3α+3sinα cos3α=4cos~3a-3cosα…………这些公式的特点:左边是α角的倍角,右边是用同名函数表示的展开式,象这样的式子我们称为同名函数倍角公式。一般地,cosnθ的同名函数倍角公式是什么?sinnθ有没有同名函数倍角公式呢?这些问题利用函数t_n=x~n+1/(x~n)的性质可以获得解决。     

Asymptotic Approximations of Jacobi Polynomials and Their Zeros with Error Bounds

IntroductionUniform asymptotic expansions and error boundsof the (α,β>- 1 ) two- term approximations of theJacobi polynomials P(α,β)n ( cosθ) were obtained[1] .Their result wassin θ2α cosθ2βP(α,β)n ( cosθ) =Γ( n +α + 1 )n!θsinθ1/ 2 Jα( Nθ)Nα +θB0 (θ) Jα+1( Nθ)Nα+1+σ2 ,|σ2 |≤ E2 θ2 +αN -2 ,　 0≤θ≤ π2 ,where E2 is a construct.Baratella and Gatteschiused the first two terms of this expansion[2 ] toconstructa more accurate one- term approximation:x(θ)x′(θ)…     

Hp函数的性质

设 f(z)在|z|<1内正则,若0相似文献   

单形构造于E~n的一个等价条件及其应用

本文以向量为工具,给出了单形构造于E~n的一个十分简洁的等价条件。应用这一条件,推广并完善了不等式Sum from 1相似文献