谈现行中学几何教材公理体系的几个问题

本文在介绍了希尔伯特现代化公理法和现行中学几何教材公理系统异同的基础上，从五 个方面详细地阐述了如何看待中学几何教材的公理化系统问题；最后，又分五个阶段论述了怎样通过几何教学培养提高学生的数学能力问题．     

一个与Euclid—Hilbert几何公理系统等价而又简化了的公理系统

引言从Euclid开始,经过Arichimedes、Pasch等人的修改和扩充,最后由Hilbert完善的Euclid几何学公理体系,是历史上第一个用公理化方法解决一个数学分支的逻辑基础的例子,是现代数学公理化方法的典范。由于它的问世,“不仅公理化方法进入数学的其它各个     

代数结构与几何基础Ⅳ——仿射几何的公理体系

在公理化方法定义的几何中引进“平行”关系,然后把结合公理I;改成“平行公理”,我们就得到一种新的几何——仿射几何．本文将证明这种几何同构于某一体(域)上的n维仿射几何,若添加牍序公理,则这种几何同构于某一有序体(域)上的n维仿射几何,最后我们指出：三维仿射几何的结合公理、平行公理和顺序公理就是Hilben公理体系中的结合公理、平行公理和顺序公理。     

论代数公理化体系与中小学数学教学

数学公理化方法是研究数学的重要方法,代数公理体系是数学公理体系中的子系统.代数系统是集合连同满足某个公理体系的运算合称.中小学数学中处处体现公理化思想,因此在中小学数学教学中讲授代数公理化体系必要且可行.本文从公理化方法、代数公理体系、中小学代数教育及代数公理化在中小学教学中的作用几个方面来阐述.     

代数结构与几何基础Ⅲ——射影几何的公理体系

在本文中我们将给出只保留结合公理的几何，并证明：这种几何．同构于域上的射影几何．若添加顺序公理．则得到同构于有序域上的射影几何的几何．     

关于交比和射影公理

本文给出射影几何的一个公理体系,它的特点是以交比的基本性质作公理,     

线性代数的公理化体系

所谓公理化体系,就是运用公理化的研究方法而形成的知识体系。数学的公理化研究方法,即是把数学对象归类,从不同质的具体事物或过程中抽取共同量化关系,作为最基本的公理、性质(定义),再从这些公理、性质(定义)出发,采取统一的观点与方法,进行演绎推理等,以揭示和研究新的性质。这     

关于状态变权公理体系的注记

研究了状态变权的公理化定义问题. 在对现有状态变权定义中的各公理化条件进行分析的基础上,给出一种新的状态变权公理体系,并研究了它的构造及其与原定义的关系.给出若干新的在数据处理等领域有重要应用的状态变权函数.     

浅谈新课程下初中教材几何公理体系

初中几何是新课改数学教材变化最大的部分。本文以北师大版和浙教版教材为例,研究了中学几何公理公理的处理和方法。     

十九世纪晚期统一几何学的两种途径

十九世纪几何学呈现出分支林立、支离破碎的局面,由此,用统一的观点解释几何学便成为数学家的重要任务.克莱因以变换群的思想统一几何学,希尔伯特提出了另一条对现代数学影响深远的途径——公理化方法,这两种思路已经远远超出几何学的范围而成为现代数学统一化趋势的重要推手.然而,这种统一化、标准化的数学思维和数学"生产方式"只是基础主义者一厢情愿的幻想.     

关于欧拉圆的证明方法

<正> 命题:三角形三边的中点,三高线的足,垂心与各顶点连线的中点共九点位于同一个圆上。(此圆称为三角形的欧拉圆或九点圆)。 此命题在十九世纪初已被发现,其证明方法以学科而论,可分为初等几何证法与高等几何证法两种。所谓初等几何证法,即是从欧氏几何的公理体系纯逻辑地进行推证,但一般地我们也把向量法列入欧氏几何之中;所谓高等几何证法,即是从射影几何学的公理系统中纯逻辑地论证命题。然     

欧氏平面、仿射平面和射影平面的比较

本文通过对欧氏平面、仿射平面和射影平面进行比较，同时也对在这三种平面上相应地建立的平面欧氏几何学、平面仿射几何学及平面射影几何进行比较。从而进一步认清了三种平面的内在联系及平面射影几何学，平面仿射几何学对平面欧氏几何学的指导意义。     

仿射几何的公理体系

本文证明了,在欧氏几何Hilbert公理体系中,如果删去合同关系和合同公理,同时把平行公理强化成V’:“在同一平面上已知直线a和线外一点A。则过A点有且仅有一条直线b与a平行。”则得到三维仿射几何的公理体系。     

从《几何原本》到《方法论》

几何学起源于观天测地这一类实践活动。公元前三百年，希腊几何学家欧几里得（Euclid，B．C．330-B．C．275）总结前人的经验写成《几何原本》。他把人们公认的一些概念和命题列为定义和公理，在此基础上用演绎法叙述几何命题，证明几何定理。《几何原本》是数学中公理体系和演绎推理的典范。它有许多版本（十三卷或十五卷），被译成各种文字在世界范围内广泛流传。最初它的公理体系是不完整的，后来由德国数学家希尔伯特（D．Hilbert）重新整理和完善，至今为止的中学平面几何和立体几何的内容仍属于欧几里得几何。《几何原本》的中文译…     

数理经济学中的公理化方法

<正> 数理经济学就是数学概念和数学方法在经济学,特别是经济理论中的各种应用.[1]公理化方法是现代数学的主要方法。本文拟介绍经济学中应用公理化方法的现状、困难和意义.一、公理化方法公理化方法在近代数学的发展中起过巨大的作用,它对各门现代数学都有极其深刻的影响。所谓公理化方法(或公理方法),就是从尽可能少的无定义的原始概念(或基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发,利用纯逻辑推理法则,把一门数学建立成为演绎系统的一种方法。     

浅谈中学几何公理系统

本文将采用近代公理法思想来分析中学几何（包括初中平面几何与高中立体几何）中所出现的公理，论述其公理系统，使读者能居高临下地领会大纲与教材，从而正确理解中学几何公理系统的结构、特点以及欠缺情况，用以指导中学几何的教学。     

方程与曲线论[23]——演变公理体系

在丰富的几何图形世界中,用运动变化的观点,发现一类未能在《几何原本》和《几何基础》中展示的公理体系——演变形概念,演变公理。该理念在整个欧式几何系统中,不仅具有和谐性,还具有独立性和完备性。本文除运用推理证明公理系的基本问题之外,还列举实例对演变形的存在和其性质进行阐释。     

方程与曲线论[23]——演变公理体系

在丰富的几何图形世界中,用运动变化的观点,发现一类未能在《几何原本》和《几何基础》中展示的公理体系——演变形概念,演变公理。该理念在整个欧式几何系统中,不仅具有和谐性,还具有独立性和完备性。本文除运用推理证明公理系的基本问题之外,还列举实例对演变形的存在和其性质进行阐释。     

公理体系下的代数结构

本文建立了一个由代数公理(类似欧氏几何中的几何公理)所确定的代数系统,讨论了一些代数系统的结构问题.另外,介绍了对称差集和反对称差集.事实上,它们是群.最后,给出一些例子及结构图.     

选择公理及其等价命题

<正> 选择公理是Zermelo 1904年为证明良序定理所提出,它大大推动了近代数学的发展,在逻辑严密性方面也有重要作用。但是,也有人持不同看法,认为该命题未加证明而怀疑其正确性。自Godel工作出来后,在数学上大量应用选择公理、良序定理、Zorn引理等工具进行研究,取得很多好的成果,仅与选择公理等价的命题就有二十多个,它涉及代数、几何、集合论等方面。本文仅就代数方面常用的选择公理、良序定理、Zorn引理的等价性给出证明。为简便计,将它们写在下面,用循环法给以证明。