收缩临界κ连通图中阶较小端片的基数

设G是收缩临界κ连通图,κ=4q r(0≤r≤2,q≥2),证明如果G的原子A的阶为q-1,则G中存在另一个与A不相交的端片B,使得B≤q.     

收缩临界5连通图中5度点的分布

当G是收缩临界5连通图,x∈V（G）且d（x）≥6,x1,x2为与x相邻的5度点时,证明如果x1x2∈E（G）,则x与3个5度点相邻.     

收缩临界5连通图中的5度顶点

袁旭东证明收缩临界５连通图中每一个顶点至少与１个５度顶点相邻，现证明这类图中每一个顶点至少与２个５度顶点相邻，并由此推出收缩收界５连通图Ｇ中至少有（２│Ｇ│）／５个５度顶点。     

收缩临界5连通图中平凡不可收缩边的新下界

证明n个顶点的收缩临界5连通图中至少有n 1条平凡不可收缩边.     

收缩临界6-连通图中的6度点

每一个收缩临界6－连通图都有一个6度点。最近袁旭东证明了任何收缩临界6－连通图都存在两个相临的6度点。对于收缩临界6－连通图中的每一个点都存在一个6度点使得这两点相邻或距离为3，从而对收缩临界中6度点的分布有了更进一步认识。     

某些5-连通图中最长圈上的可收缩边

给出某些5-连通图中某些最长圈上的可收缩边的分布情况,得到如下结果:某些5-连通图的某些最长圈上至少有两条可收缩边。     

某些7-连通图最长圈上的可收缩边

给出某些7-连通图中某些最长圈上的可收缩边的分布情况,得到如下结果:某些7-连通图的某些最长圈上至少有2条可收缩边.     

6-连通图最长圈上的可收缩边

 图的可收缩边与可去边是研究连通图的构造和使用归纳法证明连通图一些性质的有力工具。设G是一个6-连通图,e∈E（G）,若收缩e后得到的图仍是6-连通的,则称e是G的可收缩边。采用树型结构理论进行分类讨论,得到如下结论：① 如果P:x=x1x2…xn=y是6-连通图G的一条最长（x,y）－路,xi xi+1是一条不可收缩边,且S={xi,xi+1,u1,u2,u3,u4}是其对应的6-点割,则G-S的每一个断片至少包含P上的一个点;② 设P:x=x1x2…xn=y是6-连通图G的一条最长（x,y）－路,且G的任意断片的阶都大于2。如果P上任意顶点xi都满足条件d（xi）≥7或者若d（xi）=6则[V（P）]中无3-圈包含它,那么P上至少包含一条可收缩边。在上述结论的基础上,进一步研究了任意断片阶都大于2的6-连通图中最长圈上的可收缩边的分布情况,得到如下新结果：任意断片阶都大于2的6-连通图最长圈上至少有两条可收缩边。     

收缩临界6连通图中的6度顶点

证明对于收缩临界6连通图中的任一个6度点x,或者它与一个6度点相邻,或者在它的邻域中存在一点y,在y的邻域中一定有2个相邻的6度点.     

收缩临界5-连通图最长圈上的5度点

讨论收缩临界5-连通图最长路和最长圈上5度点的分布情况,刻画收缩临界5-连通图的结构.     

收缩临界6连通图中的6度顶点

如果6连通图的一条边收缩后使得所得到的图仍是6连通,则这条边称为6可收缩边.一个不包含6可收缩边的非完全图被称为收缩临界6连通图.由Egawa的结果可知收缩临界6连通图中有6度点.设G是收缩临界6连通图,用V6表示G中6度点的集合.Ando等人通过证明存在常数c使得|V6|＞c|V(G)|且c≥(1)/(7).现将这一常数改进为c≥(1)/(5).     

n连通图的可收缩边

ｎ连通图的可收缩边，人们分别在图中无三角形及图Ｇ的最小度≥３／２ｎ－１时等情况中，给出了边数下界，利用边断片给出了ｎ连通图在边原子阶≥ｎ／２时可收缩边的下界，进而给出在最小度≥４／３ｎ－１时的边数下界。     

κ连通图中的非边收缩

图的非边收缩指将图中两个不相邻的顶点粘合在一起。对κ连通无三角形图，Ｋｒｉｅｓｅｌｌ证明了如果图Ｇ的阶大于κ＾２＋１，则附了一类特殊图外，Ｇ中总包含两个不相邻顶点，使其收缩之后的图仍是κ连通的。本文考虑另一些图类，并得到类似的结果。     

一类极大临界h连通图的结构

引入图的粘合的概念,进一步研究最小度等于3h/2-1的极大临界h连通图均性质,给出一个图是这类图的一个充要条件,由此给出这类图的一种新的构造方法,更易操作．     

6-连通图的可收缩边

讨论一类6-连通图的可收缩边的分布情况,得到可收缩边的数目的下界为1/4|V(G)|.     

k-连通图的可收缩边(英文)

证明了对k-连通图G,若G的任意一个断片满足当N(F)中含有边就有|F|k/4,则G至少有2条可收缩边.     

收缩临界5-连通图的局部结构(英文)

证明了收缩临界5-连通图G中任意一点x,当d(x)≥6时就有G[N(x)∩V5(G)]不是一个完全图,从而推广了李婷婷的结果(李婷婷,收缩临界5连通图中5度点的分布,广西科学,2009,16(1):13-16).     

关于连通图端片的一些结果

设G=(V，E)为简单连通图，A包括V．G[A]称为G的断片，如果存在极小割S，使得G[A]是G—S的分支．G[A]称为G的端片，如果G[A]为G的断片，且对A的任何真子集B，G[B]不是G的断片．给出G的端片的一些性质，得到端片个数∑≤|V|的结论，并给出等号成立的一些必要条件及充分条件．